C- XOR的关联属性的逻辑证明

Question

我遇到了一个常见的编程访谈问题：给定一个无符号整数的列表，找到一个整数，该整数发生在列表中的奇数次数。例如，如果给出列表：

{2,3,5,2,5,5,3}

解决方案将是整数5，因为它在列表中发生3次，而其他整数发生次数均匀。

我的原始解决方案涉及设置一个排序的数组，然后通过数组迭代：对于每个奇数元素，我都会添加整数，而对于每个元素，我都会减去；最终总和是解决方案，因为其他整数会取消。

但是，我发现通过简单地对每个元素执行XOR来存在一个更有效的解决方案 - 您甚至不需要排序的数组！也就是说：

2^3^5^2^5^5^3 = 5

我从一个离散的结构类中回忆起，我拿到了关联属性适用于XOR操作，这就是该解决方案有效的原因：

a^a = 0

和：

a^a^a = a

尽管我记得关联属性适用于XOR，但我很难找到特定于XOR的属性的逻辑证明（Internet上的大多数逻辑证明似乎更专注于和和/或操作）。有人知道为什么关联属性适用于XOR操作吗？

我怀疑它涉及包含和/或。

Answer 1

关联属性说(a^b)^c = a^(b^c)。由于XOR是位（数字中的位并行处理），因此我们只需要单个位考虑XOR。然后可以通过检查所有可能性来完成证明：

abc (a^b) (a^b)^c (b^c) a^(b^c)
000   0      0      0      0
001   0      1      1      1
010   1      1      1      1
011   1      0      0      0
100   1      1      0      1
101   1      0      1      0
110   0      0      1      0
111   0      1      0      1

由于第三列(a^b)^c与第五列相同，a^(b^c)，关联属性保存。

Answer 2

只要a ^ b == ~a & b | a & ~b，您就可以证明：

(a ^ b) ^ c = ~((~a & b) | (a & ~b)) & c | ((~a & b) | (a & ~b)) & ~c

和

a ^ (b ^ c) = a & ~((~b & c) | (b & ~c)) | ~a & ((~b & c) | (b & ~c))

是平等的。