Sympy 不能计算涉及伽马函数的无限和

Question

我正在使用 Sympy 来评估一些涉及gamma函数操作的符号和，但我注意到在这种情况下它没有计算总和并保持未评估。

import sympy as sp
a = sp.Symbol('a',real=True)
b = sp.Symbol('b',real=True)
d = sp.Symbol('d',real=True)
c = sp.Symbol('c',integer=True)
z = sp.Symbol('z',complex=True)
t = sp.Symbol('t',complex=True)
sp.simplify(t-sp.summation((sp.exp(-d)*(d**c)/sp.gamma(c+1))/(z-c-a*t),(c,0,sp.oo)))

然后我需要对这个表达进行猛烈化，不幸的是，这变得不可能做到。

然而，使用Matlab符号工具箱，我得到以下答案：

马特实验室

>> a=sym('a') 
>> b=sym('b');
>> c=sym('c')
>> d=sym('d');
>> z=sym('z');
>> t=sym('t');
>> symsum((exp(-d)*(d^c)/factorial(c))/(z-c-a*t),c,0,inf)
ans = 
(-d)^(z - a*t)*exp(-d)*(gamma(a*t - z) - igamma(a*t - z, -d))

正如预期的那样，该公式涉及较低的不完整伽马函数。 知道为什么会有这种行为吗？我认为 sympy 能够象征性地进行这种求和。

Answer 1

使用 SymPy 1.2 运行代码会导致

d**(-a*t + z)*exp(-I*pi*a*t - d + I*pi*z)*lowergamma(a*t - z, d*exp_polar(I*pi)) + t

顺便说一下，summation已经尝试评估总和(并且在 SymPy 1.2 的情况下成功(，随后的简化是表面的。(有时可能是有害的(。

exp_polar的存在意味着SymPy发现有必要考虑对数函数的黎曼曲面上的点，而不是正则复数。(相关文档(。函数lower_gamma是分支的，因此我们必须区分"-1 处的值，如果我们从顺时针方向从 1 到达 -1"和"-1 处的值，如果我们从 1 逆时针到达 -1"。前者是exp_polar(-I*pi)，后者是exp_polar(I*pi)。

所有这些都非常有趣，但当您需要对表达式进行具体评估时，并没有真正的帮助。我们必须使这个表达式去极化，从 Matlab 显示的内容来看，简单地用exp替换exp_polar在这里是一种正确的方法。

rv = sp.simplify(t-sp.summation((sp.exp(-d)*(d**c)/sp.gamma(c+1))/(z-c-a*t),(c,0,sp.oo)))
rv = rv.subs(sp.exp_polar, sp.exp)

结果：d**(-a*t + z)*exp(-I*pi*a*t - d + I*pi*z)*lowergamma(a*t - z, -d) + t

这里还有一些东西需要考虑，复数等等。d是积极的还是消极的？将其提高到幂-a*t+z是什么意思，我们采用多值幂函数的哪个分支？在 Matlab 输出中也存在相同的问题，其中-d被提升到幂。

我建议使用浮点输入(直接求和序列与计算 SymPy 表达式(对此进行测试，并在可能的情况下在d符号上添加假设。