有限元程序设计方法

Question

我正在努力自学有限元方法。

我的所有代码都改编自以下链接第16-20页http://homepages.cae.wisc.edu/~suresh/ME964网站/M64Notes/Notes/introfme.pdf

我正在Matlab中编程，对单个8节点立方体单元进行有限元分析。我已经定义了xi，eta，zeta局部轴（我们现在可以把它看作x，y，z），所以我得到了以下形状函数：

%%shape functions
zeta = 0:.01:1;
eta = 0:.01:1;
xi = 0:.01:1;
N1 = 1/8*(1-xi).*(1-eta).*(1-zeta);
N2 = 1/8*(1+xi).*(1-eta).*(1-zeta);
N3 = 1/8*(1+xi).*(1+eta).*(1-zeta);
N4 = 1/8*(1-xi).*(1+eta).*(1-zeta);
N5 = 1/8*(1-xi).*(1-eta).*(1+zeta);
N6 = 1/8*(1+xi).*(1-eta).*(1+zeta);
N7 = 1/8*(1+xi).*(1+eta).*(1+zeta);
N8 = 1/8*(1-xi).*(1+eta).*(1+zeta);

[N]矩阵将根据我正在阅读的文本如下排列：

%N Matrix
N= [N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0 N5 0 0 N6 0 0 N7 0 0 N8 0 0;
    0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0 N5 0 0 N6 0 0 N7 0 0 N8 0;
    0 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0 N5 0 0 N6 0 0 N7 0 0 N8];

要找到[B]矩阵，我必须使用以下[D]矩阵：

%%Del Matrix for node i
%[  d/dx   0     0
%    0    d/dy   0
%    0     0    d/dz        . . .
%   d/dy  d/dx   0
%    0    d/dz  d/dy
%   d/dz   0    d/dx   ]

这是在CCD_ 4上进行的运算符。（B=DN）

稍后，正如本文所示，我将进行计算，涉及[B]矩阵在该元素体积上的积分。

所以，我的问题是，如何将这些多项式形状函数存储在矩阵中，用微分运算，然后用数值积分。根据我现在设置的方式，我可以看出它不起作用，因为我已经将函数定义为区间[0,1]上的向量，然后将这些向量存储在[N]矩阵中。然后利用CCD_ 9函数进行适当的微分，得到CCD_。但由于[B]的矩阵元素现在是区间[0,1]上的向量，我认为这会引起问题。你们会如何处理我在上面发布的教科书中描述的这些计算？

Answer 1

使用匿名函数并将多项式存储在符号矩阵中解决了我的问题。示例：

syms xi eta zeta
N1= ... %type out in terms of xi eta and zeta
.
.
.
dN1dXi = diff(N1,xi) %symbolic differentiation with respect to xi

还可以在需要时执行符号集成：

intN1 = int(N1,xi,lowerLimit,upperLimit) %symbolic integration with respect to xi

当准备好用实际值替换来评估符号函数时：

subs(N1,{xi,eta,zeta},{value1,value2,value3})

Answer 2

您应该查看第24页，了解如何从参数域（[0,1]^）映射到物理域。

Answer 3

尽管我认为您可以按照您所说的那样使用符号。我认为Matlab中的符号计算非常耗时。

我会手动获取导数N并存储为dN，并在需要时使用它。

问候，

德国

Answer 4

在获得需要在刚度矩阵中替换的形状函数后，刚度矩阵应为24x24，因为您有24个自由度。为了求解，你需要建立一个线性系统（Ax=b），右手边是基于你正在求解的PDE，你必须在右手边加上源项中包括neuman边界条件。在python中，二维元素（4自由度）将类似于：

    def shapefxncoef (Valxy):
    #creating a temporary metrix to store zeros and get the size of the shape
    #function matrix.
    n_temp = np.zeros((4,4))
    #filling the values of the matrix with a loop.
    for i in range(4):
        #the values used in the matrix are from the Valxy x and y components.
        xi = Valxy [0, i];
        yi = Valxy [1, i];
        n_temp[i, 0] = 1;
        n_temp[i, 1] = xi;
        n_temp[i, 2] = yi;
        n_temp[i, 3] = xi*yi;
        #this gives an identity matrix and the stiffness matric can be derived 
        #if we take the inverse.
    n = np.linalg.inv(n_temp);
    return n;
def N (Valxy, x, y):
    n = shapefxncoef (Valxy);
    res = n[0, :] + n[1, :]*x + n[2, :]*y + n[3, :]*x*y;
    return res;
def Be (Valxy, x, y):
    res = np.zeros ((2,4));
    res_temp = shapefxncoef (Valxy);
    for i in range (4):
        res_tempi = res_temp[:, i];
        dNix = res_tempi[1] + res_tempi[3]*y;
        dNiy = res_tempi[2] + res_tempi[3]*x;
        res[0, i] = dNix;
        res[1, i] = dNiy;
    return res;
def Ke (Valxy, conduct):
    a = lambda x, y: conduct * np.dot ((Be(Valxy, x, y)).T, Be(Valxy, x, y));
    k = intr.integrateOnQuadrangle (Valxy.T, a, np.zeros((4,4)));
    return k;