解异或方程组的最优算法

Question

我正在尝试解决异或方程系统。例如:

A = [[1, 1, 1, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1, 1], [0, 1, 1, 0, 1], [0, 1, 0, 1, 1]]
s = [3, 14, 13, 5, 2]
m = 5 # len(s)
Ax = s => x = [12, 9, 6, 1, 10]

我试了两种方法:

• 第一种方法是高斯消去(~2.5秒)，如图
• 第二种方法对模矩阵A(模2)进行逆变，然后与A逆变和s进行异或相乘(~7.5秒)

你能告诉我有一种方法或python库来加速吗?我甚至尝试使用gmpy2库，但它不能减少太多。下面我描述了python代码，以便您可以轻松理解。

使用高斯消去法:

def SolveLinearSystem (A, B, N):
    for K in range (0, N):
        if (A[K][K] == 0):
            for i in range (K+1, N):
                if (A[i][K]!=0):
                    for L in range (0, N):
                        s = A[K][L]
                        A[K][L] = A[i][L]
                        A[i][L] = s
                    s = B[i]
                    B[i] = B[K]
                    B[K] = s
                    break
        for I in range (0, N):
            if (I!=K):
                if (A[I][K]):
                    #M = 0
                    for M in range (K, N):
                        A[I][M] = A[I][M] ^ A[K][M]
                    B[I] = B[I] ^ B[K]
SolveLinearSystem (A, s, 5)

使用反转

def identitymatrix(n):
    return [[long(x == y) for x in range(0, n)] for y in range(0, n)]
def multiply_vector_scalar (vector, scalar, q):
    kq = []
    for i in range (0, len(vector)):
        kq.append (vector[i] * scalar %q)
    return kq
def minus_vector_scalar(vector1, scalar, vector2, q):
    kq = []
    for i in range (0, len(vector1)):
        kq.append ((vector1[i] - scalar * vector2[i]) %q)
    return kq
def inversematrix(matrix, q):
    n = len(matrix)
    A =[]
    for j in range (0, n):
        temp = []
        for i in range (0, n):
            temp.append (matrix[j][i])
        A.append(temp)
    Ainv = identitymatrix(n)
    for i in range(0, n):
        factor = gmpy2.invert(A[i][i], q) #invert mod q
        A[i] = multiply_vector_scalar(A[i],factor,q)
        Ainv[i] = multiply_vector_scalar(Ainv[i],factor,q)
        for j in range(0, n):
            if (i != j):
                factor = A[j][i]
                A[j] = minus_vector_scalar(A[j], factor, A[i], q)
                Ainv[j] = minus_vector_scalar(Ainv[j], factor, Ainv[i], q)
    return Ainv
def solve_equation (A, y):
    result = []
    for i in range (0, m):
        temp = 0
        for j in range (0, m):
            temp = (temp ^ A[i][j]* y[j])
        result.append(temp)
    return result
A_invert = inversematrix(A, 2)
print solve_equation (A_invert, s)

Answer 1

您提供的两种方法都使您执行三次位操作。有一些方法在渐近和实践中都更快。

第一步(这对您来说可能已经足够了)是使用一个32位整数(我相信它们在Python中被称为numpy.int32)来存储一行的32个连续元素。在足够大的输入时，这将加快行减少的速度，接近32倍，并且在适度的输入时，可能会显著减少运行时间。

在您的特定代码中，有许多事情您可以简单地专门用于mod-2情况。搜索你的代码%和inversemodp和处理所有这些;这些额外的、无意义的操作对运行时毫无帮助。