在 Python 中计算低秩近似

Question

给定一个维度为 nxn 的矩阵 M，我如何计算低秩分解，使得 M = L.T * L，其中 L 是维度 kxn。到目前为止，我只看到使用 SVD 完成此操作，这并不完全是我想要的，因为该方法给了我 M = USV，和 U.T ！= S*V，而不是 (L.T)。T == L.

另一种选择可能是使用某种形式的优化来查找 L，但这并不简单，因为我已经尝试了 SciPy 的几种优化方法，在弗罗贝尼乌斯范数下的差异为 M - L.T * L，到目前为止我还没有成功。

编辑：我忘了补充一点，通过使用scikit的非负矩阵分解类，我能够通过传递L和L.T作为优化的候选矩阵来部分实现这一点。但是，我的矩阵 M 不是非负的，因此此方法对我不起作用。

Answer 1

答案取决于你对矩阵的了解。

如果矩阵是正半定的，你可以使用乔列斯基因式分解， 使用枢轴以获得稳定性。

在其他假设下，解决方案可能不存在。

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一个可能不存在解决方案的示例，以下矩阵没有解决方案：

[[0, 1],
[0, 0]] 

证明：假设答案存在。 然后解决方案如下所示：

L = [[a, b],
[c, d]]

因此，以下必须为真：

1. a*a + b*c == 0
2. d*d + b*c == 0
3. c * (a+d) == 0
4. b * (a+d) == 1

根据3.(c == 0) or ((a+d) == 0)

如果c == 0，则根据 1. 和 2。a == 0和d == 0. 如果这是真的，那么(a+d) == 0它就是 4。不可能的。

如果(a+d) == 0那么4.是不可能的。

通过矛盾，我们知道不可能有你要求这个矩阵的分解。