变时间步长的龙格-库塔四阶误差近似

Question

from __future__ import division
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x, t):       #function
    return -x
def exact(t):       #exact solution
    return np.exp(-t)
def Rk4(x0, t0, dt):      #Runge-Kutta Fourth Order Error
    t = np.arange(0, 1+dt, dt)
    n = len(t)
    x = np.array([x0]*n)
    x[0],t[0] = x0,t0
    for i in range(n-1):
        h = t[i+1]-t[i]
        k1 = h*f(x[i], t[i])
        k2 = h*f(x[i]+0.5*k1, t[i]+0.5*h)
        k3 = h*f(x[i]+0.5*k2, t[i]+0.5*h)
        k4 = h*f(x[i]+k3, t[i+1])
        x[i+1] = x[i]+(k1+2.0*(k2+k3)+k4 )/6.0
    E = abs(x[n-1]-exact(1))
    return E
vecRk4 = np.vectorize(Rk4)
dt = 10e-4
dtime = []
delta = 10e-4
while dt < 1:
    if Rk4(1.0,0.0,dt) < Rk4(1.0,0.0,dt+delta):
        dtime.append(dt)
    S = vecRk4(1.0,0.0,dtime)
    dt = dt + delta
plt.plot(dtime,S)
plt.xlabel("dt (s)")
plt.ylabel("Error")
plt.show()

当我运行代码时，它会产生一个锯齿状的图，在许多dt值上产生零误差，中间有正误差。(抱歉，我不能嵌入图表的图像)。这些大的尖峰不应该发生，因为随着时间步长dt的减小，误差应该会持续减少。但是，我不确定如何解决这个问题，也不知道错误来自哪里。我试图通过添加while循环来消除尖峰，希望它只在dt处的误差大于dt+delta处的误差时向我的dtime数组添加点，但它导致了完全相同的图形。

Answer 1

一个简短的测试演示了

In [104]: import numpy as np
In [105]: dt = 0.6
In [106]: np.arange(0, 1+dt, dt)
Out[106]: array([ 0. ,  0.6,  1.2])

因此，为了得到有意义的结果，要么在开始时设置t[n-1]=1，要么计算误差为

E = abs(x[n-1]-exact(t[n-1]))