Numpy:当某些向量元素等于零时，矩阵向量乘法是否不跳过计算

Question

我最近一直在做一个项目，我的大部分时间都花在将密集矩阵A和稀疏向量v相乘上(见这里(。在我尝试减少计算时，我注意到A.dot(v)的运行时不受v的零条目数的影响。

为了解释为什么我希望在这种情况下运行时会得到改善，让我们result = A.dot.v以便result[j] = sum_i(A[i,j]*v[j]) for j = 1...v.shape[0].如果v[j] = 0那么无论值如何A[::,j]，都清楚地result[j] = 0.因此，在这种情况下，我希望 numpy 只是设置result[j] = 0但似乎它无论如何都会继续计算sum_i(A[i,j]*v[j])。

我继续编写了一个简短的示例脚本来确认下面的行为。

import time
import numpy as np
np.__config__.show() #make sure BLAS/LAPACK is being used
np.random.seed(seed = 0)
n_rows, n_cols = 1e5, 1e3
#initialize matrix and vector
A = np.random.rand(n_rows, n_cols)
u = np.random.rand(n_cols)
u = np.require(u, dtype=A.dtype, requirements = ['C'])
#time
start_time = time.time()
A.dot(u)
print "time with %d non-zero entries: %1.5f seconds" % (sum(u==0.0), (time.time() - start_time))
#set all but one entry of u to zero
v = u
set_to_zero = np.random.choice(np.array(range(0, u.shape[0])), size = (u.shape[0]-2), replace=False)
v[set_to_zero] = 0.0
start_time = time.time()
A.dot(v)
print "time with %d non-zero entries: %1.5f seconds" % (sum(v==0.0), (time.time() - start_time))

#what I would really expect it to take
non_zero_index = np.squeeze(v != 0.0)
A_effective = A[::,non_zero_index]
v_effective = v[non_zero_index]

start_time = time.time()
A_effective.dot(v_effective)
print "expected time with %d non-zero entries: %1.5f seconds" % (sum(v==0.0), (time.time() - start_time))

运行这个，我得到矩阵向量乘法的运行时是相同的，无论我使用密集矩阵u还是稀疏矩阵v：

time with 0 non-zero entries: 0.04279 seconds
time with 999 non-zero entries: 0.04050 seconds
expected time with 999 non-zero entries: 0.00466 seconds

我想知道这是否是设计使然？还是我在运行矩阵向量乘法的方式中遗漏了一些东西。就像健全性检查一样：我已经确保numpy链接到我机器上的 BLAS 库，并且两个数组都是C_CONTIGUOUS的(因为这显然是 numpy 调用 BLAS 所必需的(。

Answer 1

尝试一个简单的

函数怎么样？

def dot2(A,v):
    ind = np.where(v)[0]
    return np.dot(A[:,ind],v[ind])
In [352]: A=np.ones((100,100))
In [360]: timeit v=np.zeros((100,));v[::60]=1;dot2(A,v)
10000 loops, best of 3: 35.4 us per loop
In [362]: timeit v=np.zeros((100,));v[::40]=1;dot2(A,v)
10000 loops, best of 3: 40.1 us per loop
In [364]: timeit v=np.zeros((100,));v[::20]=1;dot2(A,v)
10000 loops, best of 3: 46.5 us per loop
In [365]: timeit v=np.zeros((100,));v[::60]=1;np.dot(A,v)
10000 loops, best of 3: 29.2 us per loop
In [366]: timeit v=np.zeros((100,));v[::20]=1;np.dot(A,v)
10000 loops, best of 3: 28.7 us per loop

一个完全迭代的 Python 嵌入将是：

def dotit(A,v, test=False):
    n,m = A.shape  
    res = np.zeros(n)
    if test:
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                if v[j]:
                    res[i] += A[i,j]*v[j]
    else:
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                res[i] += A[i,j]*v[j]
    return res

显然，这不会像编译dot那么快，但我希望测试的相对优势仍然适用。 对于进一步的测试，您可以在 cython 中实现它。

请注意，v[j]测试发生在迭代的深处。

对于稀疏v(100 个元素中的 3 个(，测试可以节省时间：

In [374]: timeit dotit(A,v,True)
100 loops, best of 3: 3.81 ms per loop
In [375]: timeit dotit(A,v,False)
10 loops, best of 3: 21.1 ms per loop

但如果v密集，则需要时间：

In [376]: timeit dotit(A,np.arange(100),False)
10 loops, best of 3: 22.7 ms per loop
In [377]: timeit dotit(A,np.arange(100),True)
10 loops, best of 3: 25.6 ms per loop

Answer 2

对于简单的数组，Numpy 不执行此类优化，但如果需要，您可以使用稀疏矩阵，在这种情况下，这可能会改善点积时序。有关该主题的更多信息，请参阅：http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/sparse.html