如何在java中计算反向累积beta分布函数

我正在寻找一个java库/实现，它支持以合理的精度计算β分布的逆累积分布函数（也称为分位数估计）。

当然，我已经尝试过apachecommons数学，但在版本3中，精度似乎仍然存在一些问题。下面对导致这个问题的问题进行了广泛的描述。

假设我想通过大量的试验来计算贝塔分布的可信区间。在apache commons math中。。。

final int trials = 161750;
final int successes = 10007;
final double alpha = 0.05d;
// the supplied precision is the default precision according to the source code
BetaDistribution betaDist = new BetaDistribution(successes + 1, trials - successes + 1, 1e-9);
System.out.println("2.5 percentile :" + betaDist.inverseCumulativeProbability(alpha / 2d));
System.out.println("mean: " + betaDist.getNumericalMean());
System.out.println("median: " + betaDist.inverseCumulativeProbability(0.5));
System.out.println("97.5 percentile :" + betaDist.inverseCumulativeProbability(1 - alpha / 2d));

提供

2.5 percentile :0.062030402074808505
mean: 0.06187249616697166
median: 0.062030258659508855
97.5 percentile :0.06305170793994147

问题是，2.5%和中位数是相同的，同时都大于平均值。

相比之下，R-包装binom提供

binom.confint(10007+1,161750+2,methods=c("agresti-coull","exact","wilson"))
         method     x      n      mean      lower      upper
1 agresti-coull 10008 161752 0.0618725 0.06070873 0.06305707
2         exact 10008 161752 0.0618725 0.06070317 0.06305756
3        wilson 10008 161752 0.0618725 0.06070877 0.06305703

和R-包统计

qbeta(c(0.025,0.975),10007+1,161750-10007+1)
[1] 0.06070355 0.06305171

为了验证R的结果，以下是Wolfram Alpha告诉我的

InverseBeta正则化[0.02510007+1161750-10007+1]=>0.06070354631
InverseBeta正则化[0.97510007+1161750-10007+1]=>0.06305170794

关于要求的最后说明：

我需要做很多这样的计算。因此，任何解决方案都不应该花费超过1的时间（与apachecommonsmath的41ms（尽管是错误的）相比，这仍然是一个很大的时间）
我知道在java中可以使用R。由于我在这里不详细说明的原因，如果其他任何东西（纯java）失败，这是最后一个选项

2012年8月21日更新

这个问题似乎已经在apachecommons数学的3.1-SNAPSHOT中得到了修复或至少得到了改进。对于以上的用例

2.5 percentile :0.06070354581340706
mean: 0.06187249616697166
median: 0.06187069085946604
97.5 percentile :0.06305170793994147

更新23.02.13

虽然乍一看，这个问题及其答案可能过于本地化，但我认为它很好地说明了一些数值问题无法用最初想到的黑客方法（有效）解决。所以我希望它仍然开放。

该问题已在apache commons math 3.1.1中修复

上面的测试用例交付了

2.5 percentile :0.06070354581334864
mean: 0.06187249616697166
median: 0.06187069085930821
97.5 percentile :0.0630517079399996

其与来自r-package统计的结果相匹配。3.1-SNAPSHOT+x版本的广泛应用也没有造成任何问题。

最有可能的是，这个问题不能用一般的方法来解决，因为如果累积分布函数的图非常平坦（通常会朝向分布的尾部），则需要在垂直轴上达到非常高的精度，才能在水平轴上达到合理的精度。

因此，直接使用计算分位数的函数总是比从累积分布函数导出分位数更好。

如果你不担心精度，你当然可以用数值求解方程q=F（x）。由于F在增加，这并不困难：

   double x_u = 0.0;
   double x_l = 0.0;
   // find some interval quantile is in
   if ( F (0.0) > q) {
      while ( F (x_l) > q) {
         x_u = x_l;
         x_l = 2.0 * x_l - 1.0;
      }
   } else {
      while ( F (x_u) < q) {
         x_l = x_u;
         x_u = 2.0 * x_u + 1.0;
      }
   }
   // narrow down interval to necessary precision
   while ( x_u - x_l > precision ) {
      double m = (x_u - x_l) / 2.0;
      if ( F (m) > q ) x_u = m; else x_l = m;
   }     
   // quantile will be within [x_l; x_u]

备注：我不清楚为什么精度会成为问题，尤其是对于贝塔分布，因为贝塔分布存在于区间[0；1]上，并且图在区间末端相当陡峭。

第二句话：你对上分位数的计算是错误的；它应该读取

System.out.println( "97.5 percentile :" + betaDist.inverseCumulativeProbability( 1 - alpha / 2d ) );

第三次编辑：已更正算法。

我已经找到并尝试了库JSci（版本1.2 27.07.2010）

代码片段：

final int trials = 162000;
final int successes = 10000;
final double alpha =0.05d;
BetaDistribution betaDist = new BetaDistribution(successes + 1, trials - successes + 1);
long timeSum = 0;
for(double perc : new double[]{alpha/2,0.5,1-alpha/2}){
    long time = System.currentTimeMillis();
    System.out.println((perc*100) + " percentile :" + betaDist.inverse(perc));
    timeSum += System.currentTimeMillis()-time;
}
System.out.println("Took ~" + timeSum/3 + " per call");

2.5 percentile :0.060561615036184686
50.0 percentile :0.06172659147924378
97.5 percentile :0.06290542466617127
Took ~2ms per call

内部使用根查找方法，如JohnB所建议的。可以扩展ProbabilityDistribution#inverse以要求更高的精度。不幸的是，即使有大量的迭代（100k）和10^-10的要求精度，算法仍然返回

2.5 percentile :0.06056698485628473
50.0 percentile :0.06173200221779383
97.5 percentile :0.06291087598052053
Took ~564ms per call

现在：谁的代码不那么错误？R还是JSci？我更喜欢用户群更大的。。。

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