如何提高浮点二阶导数计算的准确性

Question

我编写了一个简单的程序来计算函数的一阶和二阶导数，使用函数指针。我的程序计算正确答案(或多或少(，但对于某些函数，准确性低于我想要的。

这是我正在区分的功能：

float f1(float x) {
    return (x * x);
}

这些是使用中心有限差分法的导数函数：

// Function for calculating the first derivative.
float first_dx(float (*fx)(float), float x) {
    float h = 0.001;
    float dfdx;
    dfdx = (fx(x + h) - fx(x - h)) / (2 * h);
    return dfdx;
}
// Function for calculating the second derivative.
float second_dx(float (*fx)(float), float x) {
    float h = 0.001;
    float d2fdx2;
    d2fdx2 = (fx(x - h) - 2 * fx(x) + fx(x + h)) / (h * h);
    return d2fdx2;
}

主要功能：

int main() {
    pc.baud(9600);
    float x = 2.0;
    pc.printf("**** Function Pointers ****rn");
    pc.printf("Value of f(%f): %frn", x, f1(x));
    pc.printf("First derivative: %frn", first_dx(f1, x));
    pc.printf("Second derivative: %frnrn", second_dx(f1, x));
}

这是程序的输出：

**** Function Pointers ****
Value of f(2.000000): 4.000000
First derivative: 3.999948
Second derivative: 1.430511

我对一阶导数

的准确性感到满意，但我相信二阶导数太远了(它应该等于~2.0(。

我对浮点数的表示方式以及为什么它们有时不准确有一个基本的了解，但是如何使这个二阶导数结果更准确呢？我是否可以使用比中心有限差分方法更好的方法，或者有没有办法使用当前方法获得更好的结果？

Answer 1

通过选择具有更高精度的类型可以提高精度。 float 目前定义为 IEEE-754 32 位数字，为您提供 ~ 7.225位小数的精度。

你想要的是 64 位对应物： double 具有 ~ 15.955 位小数的精度。

---

这对于您的计算来说应该足够了，但值得一提的是 boosts 实现，它提供了一个四精度浮点数(128 位(。

最后，GNU 多精度算术库提供了具有任意小数位数的精度类型。

Answer 2

• 去分析。可能不是一个选项，"与当前方法"。
• 使用双精度而不是浮点数。
• 改变ε(h(，并以某种方式组合结果。例如，您可以尝试 0.00001、0.000001、0.0000001 并将它们平均。事实上，您希望结果具有不会溢出/下溢的最小 h。但目前尚不清楚如何检测溢出和下溢。