在Python中有高斯消去的标准解决方案吗?

Question

在scipy/numpy/...的宇宙中是否存在矩阵高斯消去的标准方法?

可以通过google找到许多片段，但如果可能的话，我更愿意使用"可信"模块。

Answer 1

我终于发现，这可以用LU分解来完成。这里的U矩阵表示线性系统的简化形式。

from numpy import array
from scipy.linalg import lu
a = array([[2.,4.,4.,4.],[1.,2.,3.,3.],[1.,2.,2.,2.],[1.,4.,3.,4.]])
pl, u = lu(a, permute_l=True)

则u读取

array([[ 2.,  4.,  4.,  4.],
       [ 0.,  2.,  1.,  2.],
       [ 0.,  0.,  1.,  1.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.]])

根据系统的可解性，该矩阵具有上三角形或上梯形结构。在上面的例子中出现了一行零，因为矩阵只有秩3。

Answer 2

一个值得检查的函数是_remove_redundancy，如果您希望删除重复或冗余的方程:

import numpy as np
import scipy.optimize
a = np.array([[1.,1.,1.,1.],
              [0.,0.,0.,1.],
              [0.,0.,0.,2.],
              [0.,0.,0.,3.]])
print(scipy.optimize._remove_redundancy._remove_redundancy(a, np.zeros_like(a[:, 0]))[0])

给了

:

[[1. 1. 1. 1.]
 [0. 0. 0. 3.]]

作为@flonk答案的注释，使用LU分解可能并不总是给出所需的简化行矩阵。例子:

import numpy as np
import scipy.linalg
a = np.array([[1.,1.,1.,1.],
              [0.,0.,0.,1.],
              [0.,0.,0.,2.],
              [0.,0.,0.,3.]])
_,_, u = scipy.linalg.lu(a)
print(u)

给出相同的矩阵:

[[1. 1. 1. 1.]
 [0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 2.]
 [0. 0. 0. 3.]]

Answer 3

可以使用python符号数学库sympy

import sympy as sp
m = sp.Matrix([[1,2,1],
           [-2,-3,1],
           [3,5,0]])
m_rref, pivots = m.rref() # Compute reduced row echelon form (rref).
print(m_rref, pivots)

这将以简化阶梯形输出矩阵，以及主列列表

Matrix([[1, 0, -5],
        [0, 1,  3],
        [0, 0,  0]])
(0, 1)