在Coq中定义阿克曼时出错

Question

我正在尝试在Coq中定义Ackermann-Peters函数，但收到一条我不明白的错误消息。如您所见，我将阿克曼的论点a, b打包在一对ab中;我提供了一个为参数定义排序函数的排序。然后我使用 Function 形式来定义 Ackermann 本身，为其提供 ab 参数的排序函数。

Require Import Recdef.    
Definition ack_ordering (ab1 ab2 : nat * nat) :=
    match (ab1, ab2) with
    |((a1, b1), (a2, b2)) => 
       (a1 > a2) / ((a1 = a2) / (b1 > b2))   
    end.
Function ack (ab : nat * nat) {wf ack_ordering} : nat :=
match ab with
| (0, b) => b + 1
| (a, 0) => ack (a-1, 1)
| (a, b) => ack (a-1, ack (a, b-1))
end.

我得到的是以下错误消息：

错误：没有这样的部分变量或假设：ack。

我

不确定是什么困扰了 Coq，但搜索互联网，我发现一个建议，使用由排序或度量定义的递归函数可能存在问题，其中递归调用发生在匹配中。但是，使用投影fst和snd以及if-then-else生成不同的错误消息。有人可以建议如何在Coq中定义阿克曼吗？

Answer 1

似乎Function无法解决这个问题。但是，它的表弟Program Fixpoint可以。

让我们先定义一些处理有根据的引理：

Require Import Coq.Program.Wf.
Require Import Coq.Arith.Arith.
Definition lexicographic_ordering (ab1 ab2 : nat * nat) : Prop :=
  match ab1, ab2 with
  | (a1, b1), (a2, b2) => 
      (a1 < a2) / ((a1 = a2) / (b1 < b2))
  end.
(* this is defined in stdlib, but unfortunately it is opaque *)
Lemma lt_wf_ind :
  forall n (P:nat -> Prop), (forall n, (forall m, m < n -> P m) -> P n) -> P n.
Proof. intro p; intros; elim (lt_wf p); auto with arith. Defined.
(* this is defined in stdlib, but unfortunately it is opaque too *)
Lemma lt_wf_double_ind :
  forall P:nat -> nat -> Prop,
    (forall n m,
      (forall p (q:nat), p < n -> P p q) ->
      (forall p, p < m -> P n p) -> P n m) -> forall n m, P n m.
Proof.
  intros P Hrec p. pattern p. apply lt_wf_ind.
  intros n H q. pattern q. apply lt_wf_ind. auto.
Defined.
Lemma lexicographic_ordering_wf : well_founded lexicographic_ordering.
Proof.
  intros (a, b); pattern a, b; apply lt_wf_double_ind.
  intros m n H1 H2.
  constructor; intros (m', n') [G | [-> G]].
  - now apply H1.
  - now apply H2.
Defined.

现在我们可以定义阿克曼-彼得函数：

Program Fixpoint ack (ab : nat * nat) {wf lexicographic_ordering ab} : nat :=
  match ab with
  | (0, b) => b + 1
  | (S a, 0) => ack (a, 1)
  | (S a, S b) => ack (a, ack (S a, b))
  end.
Next Obligation.
  inversion Heq_ab; subst. left; auto. Defined.
Next Obligation.
  apply lexicographic_ordering_wf. Defined.

一些简单的测试表明我们可以用ack计算：

Example test1 : ack (1, 2) = 4 := eq_refl.
Example test2 : ack (3, 4) = 125 := eq_refl.  (* this may take several seconds *)

---

使用 M. Sozeau 和 C. Mangin 的方程插件，可以这样定义函数：

From Equations Require Import Equations Subterm.
Equations ack (p : nat * nat) : nat :=
ack p by rec p (lexprod _ _ lt lt) :=
ack (pair 0 n) := n + 1;
ack (pair (S m) 0) := ack (m, 1);
ack (pair (S m) (S n)) := ack (m, ack (S m, n)).

不幸的是，由于问题 #81，无法对配对使用 ( , ) 表示法。代码取自Equation的测试套件：ack.v。

Answer 2

您收到此错误是因为您在定义 ack 函数时引用了它。自引用只允许在Fixpoint s（即递归函数）中，但问题是，你可能知道，阿克曼函数不是一个原始递归函数。

有关此内容的更多信息，请参阅 Coq'Art 第 4.3.2.2 节。

因此，定义它的另一种方法是内联第二个递归函数，该函数在结构上是第二个参数的递归函数;所以像

Fixpoint ack (n m : nat) : nat :=
  match n with
  | O => S m
  | S p => let fix ackn (m : nat) :=
               match m with
               | O => ack p 1
               | S q => ack p (ackn q)
               end
           in ackn m
  end.

Answer 3

我刚刚用Coq 8.4尝试了你的函数，错误略有不同：

Error: Nested recursive function are not allowed with Function

我想内心对ack的呼唤是问题所在，但我不知道为什么。

希望这有所帮助，五.

PS：我定义 Ack 的通常方法是电线写的东西，带有内部固定点。