求解矩阵的Python方法

Question

我一直在思考这个问题，但我似乎无法理解。

我想求解一个矩阵，它有三个未知数x，y，z的方程，所以它们都等于同一个数。

假设我的方程式是：

x + 3 = A
y(2y - 2) = 2A
z(4z - 1) = A

所以我可以构造一个矩阵，看起来像：

[(X + 3) , 0      ,       0] [0]   [A]
[ 0      ,(2y - 2),       0] [y] = [2A]
[ 0 ,    ,       0, (4z -1)] [z]   [A]

我知道numpy有一个线性代数，但那只是当答案（a）已知时。

我的问题是，我是否必须构建一个循环来强行求解（a）的答案，或者是否有一种更像蟒蛇的方法来回答这一系列方程？

Answer 1

线性代数只能求解变量的倍数，而不能求解幂（这就是为什么它被称为线性，即直线方程Ax + By + Cz = 0）。

对于这组方程，你可以使用二次公式来求解：

x + 3 = a            =>       x = a - 3

y * (y - 1) = a      =>       y**2 - y - a = 0
                              y = (1 +/- (1 + 4*a) ** 0.5) / 2
                                = 0.5 +/- (0.25 + a) ** 0.5
                                (a >= -0.25  for real roots)

z * (4*z - 1) = a    =>       4 * z**2 - z - a = 0
                              z = (1 +/- (1 + 16*a) ** 0.5) / 8
                                = 0.125 +/- (0.015625 + 0.25*a) ** 0.5
                                (a >= -0.0625  for real roots)

然后

def solve(a):
    assert a >= -0.625, "No real solution"
    x = a - 3
    yoffs = (0.25 * a) ** 0.5
    ylo = 0.5 - yoffs
    yhi = 0.5 + yoffs
    zoffs = (0.015625 + 0.25 * a) ** 0.5
    zlo = 0.125 - zoffs
    zhi = 0.125 + zoffs
    return [
        (x, ylo, zlo),
        (x, ylo, zhi),
        (x, yhi, zlo),
        (x, yhi, zhi)
    ]

Answer 2

没有一个包含3个未知数的3个方程组。你有一个由3个方程组成的系统，其中有4个未知数：x，y，z和a.

这意味着你的答案将在A上参数化，因为你没有足够的方程来求解所有的未知数。

求解一般的多项式方程组可以通过所谓的Groebner基方法来完成，这就是sympy所使用的方法。以下是关于如何使用库来解决此问题或类似问题的片段：

from sympy.solvers.polysys import solve_poly_system
from sympy.abc import x, y, z, A
f1 = x + 3 - A
f2 = y * (2 * y - 2) - 2 * A
f3 = z * (4 * z - 1) - A
solve_poly_system([f1, f2, f3], x, y, z)
# Outputs:
# [(A - 3, -sqrt(4*A + 1)/2 + 1/2, -sqrt(16*A + 1)/8 + 1/8),
# (A - 3, -sqrt(4*A + 1)/2 + 1/2, sqrt(16*A + 1)/8 + 1/8),
# (A - 3, sqrt(4*A + 1)/2 + 1/2, -sqrt(16*A + 1)/8 + 1/8),
# (A - 3, sqrt(4*A + 1)/2 + 1/2, sqrt(16*A + 1)/8 + 1/8)]

正如您所看到的，结果需要固定A的值才能完全确定。