特征:获取稀疏基质的内核

Question

给定稀疏的矩阵A和向量b，我想获得方程A * x = b的解决方案x以及A的内核。

。

一种可能性是将A转换为密集表示。

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/SparseQR>
int main()
{
    // This is a toy problem. My actual matrix
    // is of course bigger and sparser.
    Eigen::SparseMatrix<double> A(2,2);
    A.insert(0,0) = 1;
    A.insert(0,1) = 2;
    A.insert(1,0) = 4;
    A.insert(1,1) = 8;
    A.makeCompressed();
    Eigen::Vector2d b;
    b << 3, 12;
    Eigen::SparseQR<Eigen::SparseMatrix<double>,
                    Eigen::COLAMDOrdering<int> > solver;
    solver.compute(A);
    std::cout << "Solution:n" << solver.solve(b) << std::endl;
    Eigen::Matrix2d A_dense(A);
    std::cout << "Kernel:n" << A_dense.fullPivLu().kernel() << std::endl;
    return 0;
}

是否可以直接在稀疏表示中进行相同的操作？除了在FullPivlu中以外，我找不到任何地方kernel()。

Answer 1

我认为 @chtz的答案几乎是正确的，除了我们需要拿最后一个a.cols（）-qr.rank（）列。这是一个数学推导。

说我们对矩阵Aᵀ进行QR分解为

aᵀ * p = [q₁q₂] * [r;0] =q₁ * r

其中p是置换矩阵，因此

aᵀ=q₁ * r *p⁻。

我们可以看到该范围（aᵀ）= range（q₁ * r * p p⁻）=范围（q₁）（因为p和r都是可逆的）。

由于Aᵀ和Q₁具有相同的范围空间，因此这意味着A和Q₁ᵀ也将具有相同的空空间，即null（a）= null（q₁ᵀ）。（在这里，我们使用范围（m）和null（mᵀ）的属性是彼此补充的任何矩阵M，因此null（a）= reflecterment（range（aᵀ））= reflectement（range（q₁））= null（null（null）（null）（q₁ᵀ））。

另一方面，由于矩阵[q₁q₂]是正顺序的，null（q₁ᵀ）= range（q₂），因此null（a）= range（q₂），即kernal（a）=q₂。p>由于q₂是右A.Cols（）-qr.rank（）列，您可以致电rightCols(A.cols() - qr.rank())以检索A。

的内核

有关内核空间的更多信息，您可以参考https://en.wikipedia.org/wiki/kernel_（linear_algebra）