C语言 可表示为浮点数的最大奇数

Question

>我想知道什么最大的奇整数可以准确地表示为浮点数？以及为什么在这种情况下表示为浮点数的最大偶数之间存在差异。

我相信这与以 2 为底的指数 2^n-1 有关，但是我对 C 中的数据表示不够熟悉，无法看到区别。

Answer 1

对于 IEEE-754 基本 32 位二进制浮点数，最大的可表示奇数为 2²⁴−1。

对于 IEEE-754 基本 64 位二进制浮点数，最大的可表示奇数为 2⁵³−1。

这是因为格式具有 24 位和 53 位有效数。(有效数是浮点数的分数部分。

有效位数中的位表示的值根据浮点数的指数进行缩放。为了表示奇数，浮点数必须在有效位数中具有表示 2^{0 的}位。对于 24 位有效数，如果最低位表示 2⁰，则最高位表示 2²³。当所有位都打开时获得最大值，这使得值 2⁰+ 2¹+ 2^{2 +}...2²³，等于 2²⁴−1。

更一般地说，最大的可表示奇数通常是scalbnf(1, FLT_MANT_DIG) - 1。这也可以计算为(2 - FLT_EPSILON) / FLT_EPSILON.(这假设正常情况下FLT_RADIX是偶数和FLT_MANT_DIG <= FLT_MAX_EXP。请注意，如果FLT_MANT_DIG == FLT_MAX_EXP，则应使用带有FLT_EPSILON的后一个表达式，因为前者会溢出。

异常情况，只是为了完整起见：

• 如果FLT_RADIX是奇数且FLT_MANT_DIG <= FLT_MAX_EXP，则最大可表示的奇数是FLT_MAX，如果FLT_MANT_DIG是奇数，否则FLT_MAX - scalbnf(FLT_EPSILON, FLT_MAX_EXP+1)。
• 如果FLT_RADIX是偶数且FLT_MANT_DIG > FLT_MAX_EXP，则：如果FLT_MAX_EXP > 0，则最大的可表示奇数是floorf(FLT_MAX)。否则，没有奇数整数是可表示的。
• 如果FLT_RADIX是奇数且FLT_MANT_DIG > FLT_MAX_EXP，则：如果FLT_MAX_EXP > 0，则最大的可表示奇整数是floorf(FLT_MAX)，如果FLT_MANT_DIG - FLT_MAX_EXP是奇数或floorf(FLT_MAX)-1。否则，没有奇数整数是可表示的。

Answer 2

可表示为 32 位浮点数的最大奇数是 2^24 - 1。

更具体地说，32 位浮点数可以精确表示以下整数：

• 所有整数，最大为 2^24
• 所有偶数，最大为 2^25
• 4 的所有倍数到 2^26
• 8 的所有倍数到 2^27
• 等。

换句话说，以下是完全可表示的整数：

0
1
2
...
16777215
16777216 (= 2^24)
16777218
16777220
...
33554430
33554432 (= 2^25)
33554436
33554440
...
67108860
67108864 (= 2^26)
67108872
67108880
...

请注意，这适用于正整数和负整数，例如，所有低至 -2^24 的负整数都可以精确表示。

下面是一些C++代码，对大约 2^24、大约 2^25 和大约 2^26 的整数进行整数到浮点数的转换，以在实践中看到这一点。

住在科里鲁

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <vector>
int main()
{
int _2pow24 = 1 << 24;
int _2pow25 = 1 << 25;
int _2pow26 = 1 << 26;
std::cout << "2^24 = " << _2pow24 << std::endl;
std::cout << "2^25 = " << _2pow25 << std::endl;
std::cout << "2^26 = " << _2pow26 << std::endl;
std::vector<int> v;
for (int i = -4; i < 4; ++i) v.push_back(_2pow24 + i);
for (int i = -8; i < 8; ++i) v.push_back(_2pow25 + i);
for (int i = -16; i < 16; ++i) v.push_back(_2pow26 + i);
for (int i : v) {
std::cout << i << " -> "
<< std::fixed << std::setprecision(1)
<< static_cast<float>(i)
<< std::endl;
}
return 0;
}

输出：

2^24 = 16777216
2^25 = 33554432
2^26 = 67108864
16777212 -> 16777212.0
16777213 -> 16777213.0
16777214 -> 16777214.0
16777215 -> 16777215.0
16777216 -> 16777216.0
16777217 -> 16777216.0
16777218 -> 16777218.0
16777219 -> 16777220.0
33554424 -> 33554424.0
33554425 -> 33554424.0
33554426 -> 33554426.0
33554427 -> 33554428.0
33554428 -> 33554428.0
33554429 -> 33554428.0
33554430 -> 33554430.0
33554431 -> 33554432.0
33554432 -> 33554432.0
33554433 -> 33554432.0
33554434 -> 33554432.0
33554435 -> 33554436.0
33554436 -> 33554436.0
33554437 -> 33554436.0
33554438 -> 33554440.0
33554439 -> 33554440.0
67108848 -> 67108848.0
67108849 -> 67108848.0
67108850 -> 67108848.0
67108851 -> 67108852.0
67108852 -> 67108852.0
67108853 -> 67108852.0
67108854 -> 67108856.0
67108855 -> 67108856.0
67108856 -> 67108856.0
67108857 -> 67108856.0
67108858 -> 67108856.0
67108859 -> 67108860.0
67108860 -> 67108860.0
67108861 -> 67108860.0
67108862 -> 67108864.0
67108863 -> 67108864.0
67108864 -> 67108864.0
67108865 -> 67108864.0
67108866 -> 67108864.0
67108867 -> 67108864.0
67108868 -> 67108864.0
67108869 -> 67108872.0
67108870 -> 67108872.0
67108871 -> 67108872.0
67108872 -> 67108872.0
67108873 -> 67108872.0
67108874 -> 67108872.0
67108875 -> 67108872.0
67108876 -> 67108880.0
67108877 -> 67108880.0
67108878 -> 67108880.0
67108879 -> 67108880.0