卡尔曼滤波算法是否有可能产生奇异方差矩阵

Question

在

卡尔曼滤波器实现中，"预测估计协方差"P（k|k-1）（参见此处的维基）是否有可能是一个奇异矩阵？如果不是，我的代码有问题吗？

这是状态空间模型

%    y{t}=Z{t} b{t} +  eps{t},                  eps{t} ~ N(0,H{t})
%              b{t} = Pi{t} b{t-1} + tao{t}     tao{t} ~ N(0,Q{t})
%                                               b{1} ~ N(b0,P0)
%                                               t=1,...,T

这是作为卡尔曼滤波算法主要部分的向后递归：

for t=1:T
    v{t} = y{t} - Z{t} * b_tt_1{t};
    M{t} = P_tt_1{t} * Z{t}';
    F{t} = Z{t} * M{t} + H{t};
       F_{t}= inv(F{t});
       MF_{t}= M{t} * F_{t};
    b_tt{t}=b_tt_1{t} + MF_{t} * v{t};
    P_tt{t}=P_tt_1{t} - MF_{t} * M{t}';
    b_tt_1{t+1} = Pi{t} * b_tt{t};
    P_tt_1{t+1} = Pi{t} * P_tt{t} * Pi{t}' + Q{t};
end

当我使用实际数据时，就会发生这种情况。为了查看问题可能出在哪里，我编写了一些代码来生成随机状态空间模型（如果需要，我可以提供代码）。

当 T 很大时，在某个 t0 之后，P_tt_1{t0} 是奇异的，状态 （b{t0}） 发散。

编辑：我使用了协方差更新方程的"约瑟夫形式"（见维基百科）。它有所帮助，但是当状态空间模型很大（在方程或状态的数量意义上）时，结果仍然发散。我认为这意味着问题与数值稳定性有关。有没有办法解决这个问题？

Answer 1

矩阵唯一可以变成单数的地方是在以下行中：

F_{t}= inv(F{t});

你可以改用伪逆的"pinv"。

如果你重写这些行，那就更好了：

F_{t}= inv(F{t});
MF_{t}= M{t} * F{t};

自

MF_{t}= M{t} / F{t};

Matlab 将求解线性方程：MF_{t} * F{t} = M{t} - 即使 F_{t} 是奇异的，也可能有一个解 - 或者如果它仍然是通过伪逆求解的奇异。

Answer 2

问题出在 inv 或 pinv 函数的反演过程中。 矩阵很大，但它们也是正定的。 所以我使用cholesky分解进行反演。函数为：

function A_=inversePD(A)
%A:positive definite matrix
M=size(A,1);
[R b] = chol(A);
if b~=0
    return
end
R_ = R  eye(M);
A_ = R_ * R_';
end