分治算法用于查找数组中的峰值

Question

对于数组a: a₁， a₂， & help;<子> k ,白马王子;A _n， A _k是峰当且仅当A _k-1 ≤<> k 通用电气;A _k+1当1 ₁ &ge时，a₁为峰值;A ₂，且当A _n-1 &le时，A _n为峰值;<子> n 。目标是从数组中找到一个峰值。

分治算法如下:

find_peak(a,low,high):
    mid = (low+high)/2
    if a[mid-1] <= a[mid] >= a[mid+1] return mid // this is a peak;
    if a[mid] < a[mid-1] 
        return find_peak(a,low,mid-1) // a peak must exist in A[low..mid-1]
    if a[mid] < a[mid+1]
        return find_peak(a,mid+1,high) // a peak must exist in A[mid+1..high]

为什么这个算法是正确的?

Answer 1

这个算法是正确的，尽管它需要一点微积分来证明。第一种情况是微不足道的→高峰。第二种情况是"半峰"，意思是它有下降的斜率，但没有上升。

这里有两种可能:

• 函数单调递减，直到_中间 →a₁≥a₂为峰值。
• 函数不单调递减，直到_中间 →存在1≥k≥mid，其中a_k≥a_k-1。让我们选择这个表述成立的最大k & rrr;<子> k + 1 & lt;A _k≥A _k-1 →这是峰值。

类似的论证可以应用于第三种情况，具有相反的"半峰"。