不正确的特征向量，但通过 QR 算法使用 python 的 numpy 纠正特征值

Question

我做了一个非常简单的QR算法代码，返回特征值和特征向量。在许多情况下，它运行良好。但是，在某些情况下，尽管特征值是正确的，但它会返回不正确的特征向量。

例如，矩阵： [[52,30,49,28],[30,50,8,44],[49,8,46,16],[28,44,16,22]] ，该过程返回正确的特征值和特征向量。但是，在以下情况下： [[1,-2,0,5],[0,7,1,5],[0,4,4,0],[0,0,0,2]] ，它返回具有正确特征值的错误特征向量。我通过"eigh"函数检查了正确的值，所有正确的特征值和特征向量都是实数。所以，这不是复数的问题。我不明白为什么会这样。

import numpy as np 
def process(self, mat: List[List[float]]):
    check = True
    a = mat[:]
    residual = 0.00001
    eigenValues = []
    eigenVectors = np.eye(len(mat))
    while check:
        check = False
        q, r = np.linalg.qr(a)
        a = np.dot(r, q)
        eigenVectors = np.dot(eigenVectors, q)
        for i in range(len(mat)):
            for j in range(i):
                if abs(a[i][j]) > residual: check = True
    for i in range(len(a)): eigenValues.append(a[i][i])
    print(eigenValues) #[1.0, 8.000000054834647, 2.9999999451653365, 2.0]
    print(eigenVectors) #[[1.0, 0.0, 0.0, 0.0], 
                          [0.0, 0.7071067941112008, -0.7071067682618934, 0.0], 
                          [0.0, 0.7071067682618939, 0.7071067941112008, 0.0], 
                          [0.0, 0.0, 0.0, 1.0]]
    # The correct eigenvectors are 
       [[ 1.         -0.19802951  0.23570226  0.90744251],
        [ 0.          0.69310328 -0.23570226 -0.1814885 ],
        [ 0.          0.69310328  0.94280904  0.362977  ],
        [ 0.          0.          0.          0.1088931 ]]

这是来自"numpy.linalg.qr"采用的家庭反射算法的问题吗？我必须应用吉文斯轮换吗？或者，是我的二维码代码的问题？

Answer 1

已知

QR 算法能够在输入矩阵对称时同时获得特征值和特征向量，但对于不对称情况，则没有这样的承诺。

因此，您的第一个输入矩阵之所以有效，是因为它是对称的。

第二个输入矩阵不对称。