计算它们之间等距的坐标

Question

对于一个一般的m维空间，我需要计算m+1个坐标它们之间都是等距的

假设一个二维空间可以处理最多3个等距点(由3个等距顶点组成的等边三角形)，以此类推。一般来说，我们可以在m-1维空间中表示m个等距顶点。

顶点之间的距离为单位距离(1)，对于简单的2D情况，3个顶点之间的距离为1。

我读到过这个立方体上的等距点，但我的请求是不同的，只有一个(大)约束，而不是两个。

每种编程语言都足够好，我需要一个建议来概括逻辑。

谢谢大家。

编辑 -----------解决方案如下(n为维度):

static double[] simplex_coordinates2 ( int n )
{
  double a;
  double c;
  int i;
  int j;
  double s;
  double[] x;
  x = r8mat_zero_new ( n, n + 1 );
  for ( i = 0; i < n; i++ )
  {
    x[i+i*n] = 1.0;
  }
  a = ( 1.0 - Math.sqrt ( 1.0 + ( double ) ( n ) ) ) / ( double ) ( n );
  for ( i = 0; i < n; i++ )
  {
    x[i+n*n] = a;
  }
//
//  Now adjust coordinates so the centroid is at zero.
//
  for ( i = 0; i < n; i++ )
  {
    c = 0.0;
    for ( j = 0; j < n + 1; j++ )
    {
      c = c + x[i+j*n];
    }
    c = c / ( double ) ( n + 1 );
    for ( j = 0; j < n + 1; j++ )
    {
      x[i+j*n] = x[i+j*n] - c;
    }
  }
//
//  Now scale so each column has norm 1.
//
  s = 0.0;
  for ( i = 0; i < n; i++ )
  {
    s = s + x[i+0*n] * x[i+0*n];
  }
  s = Math.sqrt ( s );
  for ( j = 0; j < n + 1; j++ )
  {
    for ( i = 0; i < n; i++ )
    {
      x[i+j*n] = x[i+j*n] / s;
    }
  }
  return x;
}
static double[] r8mat_zero_new ( int m, int n )
{
  double[] a;
  int i;
  int j;
  a = new double[m*n];
  for ( j = 0; j < n; j++ )
  {
    for ( i = 0; i < m; i++ )
    {
      a[i+j*m] = 0.0;
    }
  }
  return a;
}

Answer 1

需要正则单纯形
Wiki页面包含正则简单顶点的坐标信息。

主要的技巧是基于这样一个事实，即从单纯形中心到顶点的任何一对向量之间的夹角是arcos (-1/d)，其中d是空间维度(2d, 3d, 4d等)

2D示例:
首先是顶点坐标V2 = (x1,y1) = (0,1)
(x2,y2)和(x3,y3)与V1的点积一定是-1/2，所以x2和x3都等于-1/2
y2和y3是Sqrt(3)/2和-Sqrt(3)/2 -从距离=1到坐标原点

最后一步-标准化坐标以获得顶点之间的距离1 -只需将所有坐标乘以系数C=Sqrt(d/(2*(d+1)))
(出自余弦定理c^2+c^2+2*c*c/d=1)

对于2d情况下的C=Sqrt(3)/3，所以单纯形顶点是

(Sqrt(3)/3, 0)
(-Sqrt(3)/6, 1/2)
(-Sqrt(3)/6, -1/2)