程序返回不正确的特征值

Question

（matnew1） 和 eigenvalues_new2 的eigenvalues_new1集合（matnew2） 应该给出 （mat） 的特征值集合的平方。但是在这个代码中，我得到了 matnew1 的负特征值和马特纽2..

最重要的是平方根（abs（eigenvalues_new1））和平方根（abs（eigenvalues_new2）） 不同于矩阵（MAT）至少在一个值的情况下。

import numpy as np
import random
import cmath
import math

for i in np.arange(1,2,1):
    MS = random.uniform(0.001,100)
    MD = random.uniform(1e-5,0.1)
    alpha = 0.5*((MD**2)/(MS**2))
    if(alpha < 0.01):
        mu = 1e-10
        MR = 1e+5
        mat = np.array([[0,0,MD],[0,mu,MS],[MD,MS,MR]])
        #print(mat)

        eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(mat)
        matDag = np.conjugate(np.transpose(mat))
        matnew1 = np.matmul(mat, matDag)

        matnew2 = np.matmul(mat,mat)
        #print(matnew1)
        #print(matnew2)
        eigenvalues_new1, eigenvectors_new1 = np.linalg.eig(matnew1)
        eigenvalues_new2, eigenvectors_new2 = np.linalg.eig(matnew2)

        print(eigenvalues[0],eigenvalues[1],eigenvalues[2])
        print(eigenvalues_new1[0],eigenvalues_new1[1],eigenvalues_new1[2])
        print(eigenvalues_new2[0],eigenvalues_new2[1],eigenvalues_new2[2])

Answer 1

当我运行这个（你应该显示这个输出）时，我得到：

100000.04370532616 7.718450571376183e-17 -0.043705325975408056
10000008741.067133 -4.0160149511470067e-14 0.0019101560620918938
10000008741.067133 -4.0160149511470067e-14 0.0019101560620918938

第二行和第三行非常接近第一行的正方形：

In [5]: 0.0437**2                                                                                                                                             
Out[5]: 0.0019096900000000003
In [6]: 100000.043705**2                                                                                                                                      
Out[6]: 10000008741.001911

负条目位于中间列中，大约为 -4e-14 。因为在第一行你7e-17第二行和第三行应该是它的正方形。但是，我会将7e-17视为零或全部舍入误差：实际上，您的特征值接近于零。同样，-4e-14应被视为零。

你的矩阵有这个结构和这个行列式：

In [18]: M                                                                                                                                                    
Out[18]: 
⎡0   0   MD⎤
⎢          ⎥
⎢0   μ   MS⎥
⎢          ⎥
⎣MD  MS  MR⎦
In [19]: M.det()                                                                                                                                              
Out[19]: 
   2  
-MD ⋅μ

由于行列式是特征值的乘积，并且mu非常小，因此特征值的乘积需要很小。这意味着您的大 eignavlue 必须由另一个非常小的 eignavlue 来平衡。综上所述，这意味着您的矩阵的条件数很差，您无法指望准确计算较小的特征值。