线到圆转换

Question

我现在正在编写一个游戏，非常感谢一些帮助。我将直截了当地说：我将使用哪种公式将有限线上的点转换为原点圆（0，0）？

例：

     Matrix A contains points: (0, 2), (1, 2), (2,  2), ( 3, 2)
     Matrix T is the standard transformation matrix (an equation is equally as helpful)
     Matrix B is the transformation where AT = B so that B contains points:
                               (0, 2), (2, 0), (0, -2), (-2, 0)
     Where vector (0, 2) is the eigenvector.

我一直遇到的问题是变换依赖于点的数量（也许将它们转换为普通 n-gon poylgon的点？），以我有限的知识，我不知道如何处理这个问题。提前感谢您至少阅读此问题。

编辑：我想说的是，我不确定是否有一种转换，因为省略了第一点左边的值和最后一点右边的值，因此数据丢失了。

Answer 1

矩阵变换是线性的（或在齐次坐标中是线性的）。这意味着例如

((p1 + p2)/2)M = ((p1 M) + (p2 M)) / 2

换句话说，p1和p2的中点被转换为p1和p2转换的中间点。

如果您有 4 个共线点，则没有矩阵可以在不共线的点中映射它们。

如果您正在寻找一般映射，则需要更复杂的公式。一个易于实现（对于小尺寸输入）并且具有非常好的属性的径向基函数（RBF）插值器。

在这种情况下，您可以指定任意的点列表P[i]并指定每个点的目的地Q[i]。您最终会得到一个平滑函数T，它将任何点映射到另一个点，并且T(P[i]) = Q[i]所有指定点。

如果源点不是通用的，而是在规则网格上，那么一个简单的三次样条网络可以为您提供一个很好的平滑插值器（显然这是大多数图像变形软件中使用的）。