r语言 - 计算我们自己的协方差矩阵(不使用cov)

Question

我正在遵循一个关于协方差矩阵的教程，可以在这里找到:http://stats.seandolinar.com/making-a-covariance-matrix-in-r/

包括以下步骤:

#create a dataframe
a <- c(1,2,3,4,5,6)
b <- c(2,3,5,6,1,9)
c <- c(3,5,5,5,10,8)     
d <- c(10,20,30,40,50,55)
e <- c(7,8,9,4,6,10)
#create matrix from vectors
M <- cbind(a,b,c,d,e)
M_mean <- matrix(data=1, nrow=n) %*% cbind(mean(a),mean(b),mean(c),mean(d),mean(e)) 
k <- ncol(M) #number of variables
n <- nrow(M) #number of subjects

然后创建一个像这样的差矩阵:

D <- M - M_mean

这对我来说很简单。但下一步是创建协方差矩阵:

C <- (n-1)^-1 t(D) %*% D

我得到t(D) %% D除以(n-1)^1 = 6。但是我不明白t(D) %% D是如何形成的。 有人能给我解释一下吗?

Answer 1

但是我不知道t(D) %% D究竟是如何形成的。

这是矩阵外积，矩阵乘法的一种特殊形式。如果你不明白它在做什么，考虑下面的R循环来帮助你理解它:

DtD <- matrix(0, nrow = ncol(D), ncol = ncol(D))
for (j in 1:ncol(D)) 
  for (i in 1:ncol(D))
    DtD[i, j] <- sum(D[, i] * D[, j])

注意，实际上没有人会为这个写R循环;这只是为了帮助你理解算法。

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原始回答

假设我们有一个矩阵X，其中每一列给出一个特定随机变量的观测值，通常我们只使用R基函数cov(X)来得到协方差矩阵。

现在你想自己写一个协方差函数;这也不难(我很久以前就做过这个练习)。它需要3个步骤:

• 列居中(即对所有变量取均值);
• 矩阵外积;
• 平均(对nrow(X) - 1而不是nrow(X)进行偏置调整)。

这个短代码做到了:

crossprod(sweep(X, 2L, colMeans(X))) / (nrow(X) - 1L)

考虑一个小示例

set.seed(0)
## 3 variable, each with 10 observations
X <- matrix(rnorm(30), nrow = 10, ncol = 3)
## reference computation by `cov`
cov(X)
#           [,1]        [,2]        [,3]
#[1,]  1.4528358 -0.20093966 -0.10432388
#[2,] -0.2009397  0.46086672 -0.05828058
#[3,] -0.1043239 -0.05828058  0.48606879
## own implementation
crossprod(sweep(X, 2L, colMeans(X))) / (nrow(X) - 1L)
#           [,1]        [,2]        [,3]
#[1,]  1.4528358 -0.20093966 -0.10432388
#[2,] -0.2009397  0.46086672 -0.05828058
#[3,] -0.1043239 -0.05828058  0.48606879

---

如果你想得到相关矩阵怎么办?

有很多方法。如果我们想直接获取它，执行:

crossprod(scale(X)) / (nrow(X) - 1L)
#           [,1]       [,2]       [,3]
#[1,]  1.0000000 -0.2455668 -0.1241443
#[2,] -0.2455668  1.0000000 -0.1231367
#[3,] -0.1241443 -0.1231367  1.0000000

如果我们想首先获得协方差，然后(对称地)通过根对角线重新缩放它以获得相关性，我们可以这样做:

## covariance first
V <- crossprod(sweep(X, 2L, colMeans(X))) / (nrow(X) - 1L)
## symmetric rescaling
V / tcrossprod(diag(V) ^ 0.5)
#           [,1]       [,2]       [,3]
#[1,]  1.0000000 -0.2455668 -0.1241443
#[2,] -0.2455668  1.0000000 -0.1231367
#[3,] -0.1241443 -0.1231367  1.0000000

我们还可以使用服务R函数cov2cor将协方差转换为相关性:

cov2cor(V)
#           [,1]       [,2]       [,3]
#[1,]  1.0000000 -0.2455668 -0.1241443
#[2,] -0.2455668  1.0000000 -0.1231367
#[3,] -0.1241443 -0.1231367  1.0000000