在递归绑定存在的情况下，分离PHOAS变量的正负出现

Question

参数化高阶抽象语法(PHOAS)结构图编码

我正在看报纸结构化图的函数式编程奥利维拉和库克(幻灯片,草稿纸上。)在PHOAS中使用递归绑定，提出了一个在类图结构中编码共享和循环的优雅解决方案。

AST(流示例)

例如，带有后边的流可以编码为:

-- 'x' is the element type, 'b' is the PHOAS's abstract variable:
data PS0 x b = Var0 b
             | Mu0 (b -> PS0 x b) -- recursive binder
             | Cons0 x  (PS0 x b)
-- Closed terms:
newtype Stream0 x = Stream0 { runS0 :: forall b. PS0 x b }
-- Example : [0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...
exPS0 = Stream0 $ Cons0 0 (Mu0 $ x -> Cons0 1 (Cons0 2 $ Var0 x))

折叠(to list)

AST可以折叠成list而不考虑循环:

toListPS0 :: Stream0 x -> [x]
toListPS0 = go . runS0
  where
    go (Var0 x) = x
    go (Mu0 h) = go . h $ [] -- nil
    go (Cons0 x xs) =  x : go xs
-- toListPS0 exPS0 == [0, 1, 2]

或者通过取递归绑定器的不动点来生成一个无限列表:

toListRecPS0 :: Stream0 x -> [x]
toListRecPS0 = go . runS0
  where
    go (Var0 x) = x
    go (Mu0 h) = fix $ go . h -- fixpoint
    go (Cons0 x xs) = x : go xs
-- toListRecPS0 exPS0 == [0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...

拟一元join

作者注意到编码是一个准单子，有join和return，但没有fmap。

returnPS0 :: b -> PS0 x b
returnPS0 = Var0
joinPS0 :: PS0 x (PS0 x b) -> PS0 x b
joinPS0 (Var0 b) = b
joinPS0 (Mu0 h) = Mu0 $ joinPS0 . h . Var0
joinPS0 (Cons0 x xs) = Cons0 x $ joinPS0 xs

这可以用来展开一层递归绑定:

unrollPS0 :: Stream0 x -> Stream0 x
unrollPS0 s = Stream0 $ joinPS0 . go $ runS0 s
  where
    go (Mu0 g) = g . joinPS0 . Mu0 $ g
    go (Cons0 x xs) = Cons0 x $ go xs
    go e = e
-- toListPS0 . unrollPS0 $ exPS0 == [0, 1, 2, 1, 2]

PHOAS For Free

这让我想起了Edward Kmett在FPComplete上的一篇精彩文章:免费拍照。这个想法是使AST成为一个profunctor，分离PHOAS变量的负和正出现。

带place-order"的函子用类似于自由单子的AST表示(Fegaras and Sheard):

data Rec p a b = Place b
               | Roll (p a (Rec p a b))

如果p是函子(或者p a是函子)，则Rec p a是单子(也是函子)。

流AST可以用非递归函子PSF进行编码:

data PSF x a b = MuF (a -> b)
               | ConsF x   b
-- Type and pattern synonyms:
type PS1 x = Rec (PSF x)
pattern Var1 x = Place x
pattern Mu1 h = Roll (MuF h)
pattern Cons1 x xs = Roll (ConsF x xs)
-- Closed terms:
newtype Stream1 x = Stream1 { runS1 :: forall b. PS1 x b b }
-- Example : [0, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...
exPS1 = Stream1 $ Cons1 0 (Mu1 $ x -> Cons1 1 (Cons1 2 (Var1 x)))

来自Rec monad实例的join与来自论文的原始joinPS1不同!

使用模式同义词的joinPS0的文字翻译是:

joinPS1 :: PS1 x (PS1 x b b) (PS1 x b b) -> PS1 x b b
joinPS1 (Var1 b) = b
joinPS1 (Mu1 h) = Mu1 $ joinPS1 . h . Var1 -- Var1 affects the negative occurrences
joinPS1 (Cons1 x xs) = Cons1 x $ joinPS1 xs

然而，在(>>= id)中内联(>>=)和fmap得到:

joinFreePSF :: PS1 x a (PS1 x a b) -> PS1 x a b
joinFreePSF (Var1 b) = b
joinFreePSF (Mu1 h) = Mu1 $ joinFreePSF . h -- No Var1 !
joinFreePSF (Cons1 x xs) = Cons1 x $ joinFreePSF xs

我的问题是，为什么会有这种差异?

问题是，像unrollPS1这样的操作需要一个"粉碎"的join。(如joinPS1类型)

我认为这与粘合剂的递归特性有关。我试图通过使用类型来重写unrollPS1，但我不确定是否对值级别上发生的事情有充分的理解。

<<h3>评论/h3>

一个完全通用的joinPS1类型(由编译器推断)是

joinPS1 :: PS1 x (PS1 x' a a') (PS1 x a' b) -> PS1 x a' b

可以专门化a' ~ a ~ b和x' ~ x。

PS:

我并没有试图取得什么具体的成就，这更多的是好奇心的问题，就像试图把这些点联系起来。

所有实例的完整代码是

Answer 1

实际上您可以轻松地从我的"profunctor HOAS"自由单子连接中重建Olivera和Cook的join:

joinPS1 = join . lmap Var

他们的版本做了在他们的类型中唯一能做的事情。

他们必须保留a = b，所以它通过引入Var来实现。我们可以单独穿上。它不是单子所必需的，也不应该在所有情况下都这样做。

需要来保持a和b同步，这就是为什么它们只能是一个"伪单子"，为什么profunctor HOAS让你实际上有一个真正的单子。