行列式显示无穷大而不是零！为什么

Question

这是我为家庭作业遇到的问题编写的matlab代码。 在 A 乘法及其转置后，根据所有同学，得到的方阵应该具有行列式零，因为他们的代码（不同的一个）给了他们。为什么我的代码没有给出 c 和 d 的行列式是无穷大

A = rand(500,1500);
b = rand(500,1);
c = (A.')*A;
detc = det(c);
cinv = inv((A.')*A);
d = A*(A.');
detd = det(d);
dinv = inv(A*(A.'));
x1 = (inv((A.')*A))*((A.')*b);
x2 = A.'*((inv(A*(A.')))*b);

Answer 1

这种行为在det文档的"限制"部分中进行了解释，并在"查找奇异矩阵的行列式"小节中举例说明：

尽管A是单数的，但A的决定因素还是相当大的。事实上，A的行列式应该正好为零！d的不准确性是由于 LU 分解的 MATLAB® 实现中舍入误差的聚合，det使用该误差来计算行列式。

也就是说，在这种情况下，您可以使用同一页面上给出的 m 代码实现来产生所需的结果，但以升序对U的对角线元素进行排序。 请考虑示例脚本：

clc();
clear();
A = rand(500,1500);
b = rand(500,1);
c = (A.')*A;
[L,U] = lu(c);
% Since det(L) is always (+/-)1, it doesn't impact anything
diagU = diag(U);
detU1 = prod(diagU);
detU2 = prod(sort(diagU,'descend'));
detU3 = prod(sort(diagU,'ascend'));
fprintf('Minimum: %+9.5en',min(abs(diagU)));
fprintf('Maximum: %+9.5en',max(abs(diagU)));
fprintf('Determinant:n');
fprintf('tNo Sort:          %gn'  ,detU1);
fprintf('tDescending Sort:  %gn'  ,detU2);
fprintf('tAscending Sort:   %gnn',detU3);

这将产生输出：

Minimum: +1.53111e-13
Maximum: +1.72592e+02
Determinant:
    No Sort:          Inf
    Descending Sort:  Inf
    Ascending Sort:   0

请注意，排序

的方向很重要，并且无排序会给出Inf，因为对角线上不存在真正的0。 降序排序看到最大值首先乘以，显然，它们超过 realmax 并且永远不会乘以真正的0，这将产生一个NaN。 升序排序将所有接近零的对角线值聚集在一起，这些值很少有大的负值（事实上，更健壮的方法会根据幅度进行排序，但这里没有这样做），它们的乘法会产生一个真正的0（意味着该值低于 IEEE-754 算术中可用的最小非规范化数字），产生"正确"的结果。

所有这些所写的，

以及其他人所暗示的，我将引用原始的Matlab开发人员和Mathworks联合创始人Cleve Moler的话：

[行列式]在理论考虑和手工计算中很有用，但不能为稳健的数值软件提供坚实的基础。

Answer 2

好的。因此，det（A'*A） 不为零的事实并不能很好地指示 A'*A 的（非）奇点。行列式取决于缩放，矩阵显然非奇异可以具有非常小的行列式。例如，矩阵1/2 * I_n其中I_n是 nxn 恒等式的行列式为 （1/2）^n，当 n 走向无穷大时，它（快速）收敛到 0。但是 1/2 * I_n根本不是单数。

因此，检查矩阵奇点的最佳方法是条件数。

在您的情况下，在进行一些测试后

>> A = rand(500, 1500) ;
>> det(A'*A)
ans =
   Inf

您可以看到（计算的）行列式显然不为零。但这实际上并不奇怪，也不应该真正困扰你。行列式相当难以计算，所以是的，它只是舍入误差。如果你想要一个更好的近似值，你可以执行以下操作

>> s = eig(A'*A) ;
>> prod(s)
ans =
     0

在那里，你看到它更接近于零。

另一方面，条件数是矩阵（非）奇点的更好估计器。在这里

>> cond(A'*A)
ans =
   1.4853e+20

而且，由于它比 1e+16 大得多，矩阵显然是奇异的。1e+16的原因有点乏味，但主要是由于进行浮点计算时的计算机精度。

Answer 3

我认为这几乎只是一个四舍五入的问题，Inf 并不意味着你得到无穷大作为答案，只是你的行列式真的很大并且超过了realmax。正如Adiel所说，A*A.生成一个对称矩阵，并且应该有一个行列式的数值。例如，设置：

A=rand(5,15)

你应该发现 A*A." 的 det 只是一个数值。

那么，

你的朋友是如何得到零的，那么对于det个大矩阵来说，很容易得到 0 或 inf（你为什么要这样做，我不知道）。所以我认为他们只是得到了相同/类似的舍入问题。