如何在不放大舍入误差的情况下将 NxN 矩阵 A 乘以 Fortran x 次以获得其功率？
如果 A 可以对角化为
A P = P D ，
其中P是某个 NxN 矩阵(每列称为"特征向量"(，D是 NxN 对角矩阵(对角元素称为"特征值"(，则
A = P D P^{-1} ，
其中P^{-1}是P的逆矩阵。因此，A的二次幂导致
A A= P D P^{-1} P D P^{-1} = P D D P^{-1} .
重复A乘法 x 倍得到
A^x = P D^x P^{-1} .
请注意，D^x仍然是对角矩阵。让D的第i对角线元素D_{ii}。然后，D^x的第i对角线元素为
[D^x]_{ii} = (D_{ii})^x .
也就是说，D^x的元素只是D元素的x次方，并且可以计算而没有太大的舍入误差，我猜。现在，您将P和P^{-1}分别从左和右乘到此D^x以获得A^x。A^x中的误差取决于P和P^{-1}的误差，这可以通过数字包中的一些子例程(如LAPACK(来计算。
正如Norio在回答中提到的，人们通常可以使用Jordan(或Schur(分解并以类似的方式进行 - 有关详细信息(包括简短的错误分析(，请参阅例如Golub和Loan的矩阵计算第11章。