如何求解 R 中 b=0 的线性方程组(带自由变量)

Question

即如何找到非平凡的解决方案。

例：

> A = structure(c(1, -0.6, -0.4, -0.4, 0.9, -0.5, -0.6, -0.2, 0.8), .Dim = c(3L, 3L))
> A
     [,x1] [,x2] [,x3]
[1,]  1.0 -0.4 -0.6
[2,] -0.6  0.9 -0.2
[3,] -0.4 -0.5  0.8
> b0
     [,1]
[1,]    0
[2,]    0
[3,]    0
> solve(A,b0)
 [,1]
[1,]    0
[2,]    0
[3,]    0

答案应该是：

x = x3 * （0.94,0.85,1）

或者，如果您可以向我推荐其他可以解决此类系统的开源工具。

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我从线性代数书中举这个例子..矩阵简化为：

1 0 -0.94 0
0 1 -0.85 0
0 0  0    0

即 x3 是自由变量。所以参数化的解决方案是：

x = (x1,x2,x3) = (0.94 x3,0.85 x3, x3 ) = x3 * (0.94,0.85,1)

对不起，我之前没有强调，我知道零向量是平凡的解决方案，我正在寻找非平凡的解决方案。谢谢。

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你是对的，我有一个错字（更正）：

> B = structure(c(1, -0.6, -0.4, -0.4, 0.9, -0.5, -0.6, -0.2, 0.8), .Dim = c(3L, 3L))
> B %*% c(.94,.85,1)
          [,1]
[1,] -1.110223e-16
[2,]  1.000000e-03
[3,] -1.000000e-03
> B %*% c(94,85,100)
  [,1]
[1,]  0.0
[2,]  0.1
[3,] -0.1
> det(B)
[1] 0 

Answer 1

对于任何 3x3 矩阵A，A %*% c(0,0,0)都是c(0,0,0)的情况。 因此，零的返回值是正确的。 这是一个解决方案。

还有其他解决方案吗？ 接受A x = 0非平凡解的矩阵称为"奇异"。 方程的解称为"零空间"。

零空间由与特征值 0 关联的特征向量跨越。 这些由eigen给出：

> eigen(B)
$values
[1] 1.350000e+00+1.32288e-01i 1.350000e+00-1.32288e-01i 1.171856e-16+0.00000e+00i
$vectors
                 [,1]             [,2]         [,3]
[1,] -0.4724556-0.25i -0.4724556+0.25i 0.5823201+0i
[2,]  0.7559289+0.00i  0.7559289+0.00i 0.5259665+0i
[3,] -0.2834734+0.25i -0.2834734-0.25i 0.6198891+0i

请注意，特征值按递减顺序排列，最后一个（接近）为零。 所以这里的解决方案eigen(B)$vectors[,3]：

> eigen(B)$vectors[,3]
[1] 0.5823201+0i 0.5259665+0i 0.6198891+0i

此值的任意倍数都在 B 的空空间中。

找到它的另一种方法是使用 MASS::Null ：

> Null(t(B))
          [,1]
[1,] 0.5823201
[2,] 0.5259665
[3,] 0.6198891

矩阵被转置是因为您想要"正确"的空空间。 请参阅?Null 。

注意：

> x <- Null(t(B))
> x/x[3]
          [,1]
[1,] 0.9393939
[2,] 0.8484848
[3,] 1.0000000