如何找出定向边界框的旋转矩阵

Question

因此，我使用Matterport 3D数据集执行任务，它使用标准结构描述了定向边界框，其中一个更改如下：

"obb": {
"centroid":[3.39208,-1.72134,1.13262],
"axesLengths":[1.11588,0.619098,0.439177],
"dominantNormal":[-0.707107,-0.707107,0],
"normalizedAxes":[0,0,1,-0.707107,0.707107,0,-0.707107,-0.707107,0]
}

我知道定向边界框通常由质心、局部坐标系轴和沿这些轴的长度定义。

在我的情况下，考虑到对象只围绕世界坐标系中的垂直轴(z轴(旋转，我想找出它围绕z轴旋转的角度。但为此，我需要旋转矩阵，它将世界坐标系转换为局部坐标系。在标准表示的情况下，旋转矩阵只是轴作为列向量的3x3矩阵。然而，在这种情况下，如果您查看标准化的轴数组，则有9个值，没有约定哪个轴应该是旋转矩阵中的第一列矢量或第二列矢量。

假设对象位置是垂直的，并且仅围绕z轴旋转，我可以确定旋转矩阵的最后一列。例如，在上述示例中的[0，0，1]。但是如何确定另外两个轴呢？有没有一种方法可以在确定时考虑"支配正常"信息？

Answer 1

假设normalizeAxes属性具有以下含义：

[X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3, Z1, Z2, Z3]

则局部到世界旋转矩阵的列等于向量XYZ:

| X1 Y1 Z1 |
R = | X2 Y2 Z2 |
| X3 Y3 Z3 |

世界到局部旋转矩阵当然只是这个的逆(=转置(：

| X1 X2 X3 |
inv(R) = | Y1 Y2 Y3 |
| Z1 Z2 Z3 |

考虑翻译centroid = [C1, C2, C3]：

| X1 Y1 Z1 C1 |
T = | X2 Y2 Z2 C2 |
| X3 Y3 Z3 C3 |
| 0  0  0  1  |
| X1 X2 X3 -dot(C, X) |
inv(T) = | Y1 Y2 Y3 -dot(C, Y) |
| Z1 Z2 Z3 -dot(C, Z) |
| 0  0  0       1     |

不确定dominantNormal代表什么(似乎没有任何公开的文档(；可以是用于着色的元数据，或者是该OBB内的几何分布的度量。

Answer 2

让我们以问题中给出的例子为例。规范化轴如下所示，但不按任何特定顺序。

"normalizedAxes":[0,0,1,-0.707107,0.707107,0,-0.707107,-0.707107,0]

由于我们知道，对象仅围绕z轴旋转，因此旋转矩阵中的第三列为[0，0，1]。因此，我们只剩下两列；让我们称它们为axis0，axis1。

所以，

axis_0 = [-0.707107, 0.707107, 0] 
axis_1 = [-0.707107, -0.707107, 0]

可以使用反正切函数计算全局坐标系中每个轴与x轴的夹角。假设由轴_0和轴_1形成的角度分别为angle_0和angle_1。

以下关系必须为真，因为我们知道axis_0和axis_1是正交。

angle_0 = angle_1 + 90 or angle_1 = angle_0 + 90

通过前面提到的例子，你可以注意到，

angle_0 = 135 degrees
angle_1 = 225 degrees (-135 degrees)

当我们认为逆时针旋转为正时，产生较小角度的轴将是旋转矩阵中的第一列，而另一个轴将是转动矩阵中的第二列。

在这种情况下，旋转矩阵如下所示：

[ [ -0.707107, -0.707107,  0],
[ 0.707107,  -0.707107,  0],
[ 0,          0,         1],
]

如果使用arctan2函数，请小心处理轴顺时针旋转且旋转的y轴和x轴分别位于第一象限和第四象限的特殊情况。