3D 空间中三个 3D 点的线性插值

Question

我有三个3D点，如p1(x1,y1,z1)，p2(x2,y2,z2)，p3(x3,y3,z3)。我还有另一个点，但我只知道x，y那个点的值，比如p4(x4,y4,Z)，其中Z是我喜欢计算的值。

我确信p4(x4,y4)点在由p1(x1,y1)、p2(x2,y2)、p3(x3,y3)通过德劳内三角测量方法核对形成的三角形内。如何计算点p4 Z值？我喜欢在C编程中实现它。实际上，我正在尝试在MATLAB中实现griddata。

谢谢

Answer 1

p1、p2、p3定义一个平面。你可以用一个点和一个法线来表示它。例如，P=p1 、 N=(p2-P) x (p3-P)（即 N = p1p2 和 p1p3 的叉积）。

现在，对于 p4 在同一平面上，它满足平面方程：

  (p4-P) · N = 0  %// dot product
⇒ (x4-x1)*N.x + (y4-y1)*N.y + (z4-z1)*N.z = 0

重新排列：

z4 = z1 - ((x4-x1)*N.x + (y4-y1)*N.y)/ N.z

没有线性系统需要求解，你只需要一个叉积。

Answer 2

您可以在 P1P2P3 向量的基础上表示 P4 坐标。

x4 = x1 + A * (x2 - x1) + B * (x3 - x1)
y4 = y1 + A * (y2 - y1) + B * (y3 - y1)

这是易于求解的线性方程组。您必须找到 A 和 B 系数，然后使用它们来计算 z 坐标

z4 = z1 + A * (z2 - z1) + B * (z3 - z1)

Answer 3

这是为了支持MBo和Konstantin的答案。请不要接受这个问题，而是接受其他问题之一。

以下是在 MATLAB 中实现解决方案的方式：

%// Your known 3 points
p1 = [ 1 10  0]';
p2 = [-1 10 10]';
p3 = [ 0  0 10]';
%// your 4th target point
p4 = [0 5  NaN]';
%// Difference matrix/vector
A = [p2-p1  p3-p1];
b = p4-p1;
%// Compute solution
p4(end) = p1(end) + A(3,:)*(A(1:2,:)b(1:2));

现在，在C++中，仅仅包含相关eigen库这一事实就相当惊人地放大了可执行文件的大小。eigen能够对这个简单的 2x2 系统完全矫枉过正。

所以我不会求助于eigen，除非你有很多其他线性代数的事情要做。这是一个简单的 2x2 系统，很容易手动解决。

只要吻它;看看丹尼尔KO的答案:)

Answer 4

这里的数学问题是求解下面的方程组

p1 + a * (p2 - p1) + b * (p3 - p1) = (x4, y4, z4)

或等效

 (x1,y1,z1) + a * (x2-x1, y2-y1, z2-z1) + b * (x3-x1, y3-y1, z3-z1) = (x4, y4, z4)

对于 A、B 和 Z4。

要在 C/C++ 中解决它，您可以实现高斯算法（另请参阅数值配方书，可在线获得），或使用线性代数库，如本征库或其他库。

备注：无论点(x4, y4)是否位于三角形(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)内，方法都是相同的。