我试图证明，如果f（n）和g（n）是渐近的正函数，那么：
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f（n）= o（（f（n））^2）
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f（n）= o（g（n））意味着2^（f（n））= o（2^（g（n）））
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f（n）= o（g（n））意味着g（n）= o（f（n））
1）定理：如果f（n）是从自然数到自然数的渐近正函数，则f（n）= on）））^2）（请注意，我添加了一个额外的，也许是隐含的，假设）。
证明：由于f（n）是从自然数到自然数的渐近正功能，因此可以保证，对于所有自然数，n大于或等于某些自然数字n0，f（n）> 0，因此f（n）> =1。由于保证f（n）是正的，所以我们可以自由地将不等式的双方乘以f（n），而不会更改方向获得f（n）^2> = f（n）。因此，我们可以选择C = 1并使用假设中的N0来表明f（n）= o（（f（n））^2）。（请回想一下，当且仅当存在常数c> 0，n0时，通过big-oh的定义，f（n）= o（g（n）），因此对于n> = n0，f（n）＆lt; =c * g（n））。
2）定理：如果f（n）和g（n）是从自然数到自然数的渐近正函数，而f（n）= o（g（n）），则不一定是正确的那个 2^（f（n））= o（2^（g（n））。
证明：证明是例子。可以证明4N = O（2n）。4N和2N都是从自然到自然的渐近积极功能。但是，也可以证明2^（4n）= 16^n不是O（2^（2n））= o（4^n）。
3）定理：如果f（n）和g（n）是从自然数到自然数的渐近正函数，而f（n）= o（g（n）），则不一定是正确的 g（n）= o（f（n））。
证明：证明是例子。可以证明n = o（n^2）。n和n^2都是从自然到自然的渐近积极功能。但是，也可以证明n^2不是O（n）。
- f（n）= o（（（f（n）） 2 ）
默认情况下，任何函数本身都是big-o，即我们可以使用较大的常数 c big ，使得f（n）＆lt; = em> c c大 .f（n）。
因此，
- 如果f（n）小于或等于c
big .f（n）， - 那么f（n）肯定会小于或等于c
big .f（n）.f（n）。
数学上，f（n）= o（f（n）.f（n））= o（f（n） 2 ）是正确的。
- f（n）= o（g（n））意味着2 f（n） = o（2 g（n））
- f（n）= o（g（n））意味着f（n）＆lt; = g（n）
- 另外，如果某些正数 n 小于 m ，则2 > n 将小于2 m
- 使用1.和2.上述，我们可以得出结论，如果f（n）= o（g（n）），则2 f（n） = o（2 g（n））
- f（n）= o（g（n））意味着g（n）= o（f（n））
这是错误的。
f（n）= o（g（n））意味着g（n）=ω（f（n））。
如果f（n）= o（g（n）），则f（n）是由g（n）绑定的，这意味着g（n）由f（n）下限，因此g（n）=ω（f（n））。