矩阵向量乘法

Question

Let $xx = （I - u uT/（uT u）） x$，其中 I 是单位矩阵，x 是向量，u 是向

量，uT 是转置 u，xx 是结果向量。

我想在python中实现这个等式，所以我尝试了以下内容，但我不确定我的代码是否与等式所表达的内容相对应：

# given u and x, example:
u = np.array([ 0.7231519  -0.36004635 -0.82970352  1.1832742 ])
x = np.array([ 1.10667023 -1.13105657 -0.77213626  1.14220917])
uuT = np.array([u]) * np.array([u]).T
uTu = np.dot(u, u)
xx = (I - uuT / uTu).dot(x)

我上面的代码正确吗？

Answer 1

它看起来是正确的。但是，您可能希望以更传统的方式执行此操作，即仅使用矩阵计算。通常，"u样"向量是列，根据经验，u如何进行换位来证实。让我们创建这样的u和x

>>> import numpy as np
>>> u = np.array([ 0.7231519,  -0.36004635, -0.82970352, 1.1832742 ])[:,np.newaxis]
>>> x = np.array([ 1.10667023, -1.13105657, -0.77213626, 1.14220917])[:,np.newaxis]
>>> x.shape
(4, 1) # four rows and one column

然后必须计算笛卡尔积（实际上可以看作是U的协方差矩阵的第一近似值）

>>> uuT = np.dot(u, u.T)
>>> uuT
array([[ 0.52294867, -0.2603682 , -0.60000168,  0.85568699],
       [-0.2603682 ,  0.12963337,  0.29873172, -0.42603356],
       [-0.60000168,  0.29873172,  0.68840793, -0.98176677],
       [ 0.85568699, -0.42603356, -0.98176677,  1.40013783]])

和

（标量）平方和

>>> uTu = np.dot(u.T, u)
>>> uTu
array([[ 2.74112781]])

最后

>>> I = np.eye(4)
>>> np.dot(I - uuT / uTu, x)
array([[ 0.26253613],
       [-0.71077502],
       [ 0.19637539],
       [-0.23902499]])