非正定矩阵的特征态共轭梯度

Question

在特征库中CG方法的描述中，可以找到以下语句：

此类允许使用迭代共轭梯度算法求解 A.x = b 线性问题。矩阵 A 必须是自伴随的。

然而，在文献中，共轭梯度法通常用于实对称正定矩阵。 示例表明，特征CG实际上适用于matlab pcg无法处理的非正定矩阵。

例如运行代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include "Eigen/Dense"
#include "Eigen/IterativeLinearSolvers" 
#include "Eigen/Eigenvalues"
int main()
{
srand(static_cast<unsigned int>(time(0)));
const int N = 10;
Eigen::Matrix<double,Eigen::Dynamic,Eigen::Dynamic,Eigen::RowMajor>  S(N,N);
const Eigen::Matrix<double,Eigen::Dynamic,2> sources = Eigen::MatrixXd::Random(N,2);
for(size_t iEx = 0; iEx < 4; iEx++ )
{
std::cout<<"EX "<<iEx<<":n";
if(iEx == 0)
for(int i = 0; i < N; i++)
for(int j = i; j < N; j++)
S(i,j) = S(j,i) = 1./std::sqrt((sources.row(i) - sources.row(j)).squaredNorm() +1.);
if(iEx == 1)
for(int i = 0; i < N; i++)
for(int j = i; j < N; j++)
S(i,j) = S(j,i) = (sources.row(i) - sources.row(j)).norm();
if(iEx == 2)
for(int i = 0; i < N; i++)
for(int j = i; j < N; j++)
S(i,j) = S(j,i) = sources.row(i).dot(sources.row(j));
if(iEx == 3)
S = Eigen::MatrixXd::Random(N,N).selfadjointView<Eigen::Lower>();
Eigen::Matrix<double,Eigen::Dynamic,Eigen::Dynamic,Eigen::RowMajor> Sadj = S.selfadjointView<Eigen::Lower>();
std::cout<<"tIS SELFADJOINT: "<<((Sadj.array() == S.array()).all()?"YESn":"NOn");
Eigen::EigenSolver< Eigen::Matrix<double,Eigen::Dynamic,Eigen::Dynamic,Eigen::RowMajor> > eigensolver(S);
std::cout<<"tNUMBER OF NEGATIVE EIGEN VALUES: "<<(eigensolver.eigenvalues().real().array() < 0.).count()<<" OUT OF "<<N<<"n";
const Eigen::Matrix<double,Eigen::Dynamic,1> xExact = Eigen::VectorXd::Ones(N);
const Eigen::Matrix<double,Eigen::Dynamic,1> b = S * xExact;
Eigen::ConjugateGradient< Eigen::MatrixXd, Eigen::Lower|Eigen::Upper, Eigen::IdentityPreconditioner> cg(S);
cg.setMaxIterations(3000);
cg.setTolerance(1e-10);
const Eigen::Matrix<double,Eigen::Dynamic,1> xSol = cg.solve(b);
std::cout<<"tITERATIONS       : " << cg.iterations() << "n";
std::cout<<"tESTIMATED ERROR  : " << cg.error()      << "n";
std::cout<<"tNORM 2 ERROR     : "<<(xExact-xSol).norm()<<"n";
std::cout<<"tNORM 2 AVG ERROR : "<<(xExact-xSol).norm()/static_cast<double>(N)<<"n";
std::cout<<"tNORM INF ERROR   : "<<(xExact-xSol).lpNorm<Eigen::Infinity>()<<"n";
std::cout<<std::flush;
}
}

给出输出：

EX 0:
IS SELFADJOINT: YES
NUMBER OF NEGATIVE EIGEN VALUES: 0 OUT OF 10
ITERATIONS       : 11
ESTIMATED ERROR  : 1.01319e-11
NORM 2 ERROR     : 2.49293e-10
NORM 2 AVG ERROR : 2.49293e-11
NORM INF ERROR   : 1.20759e-10
EX 1:
IS SELFADJOINT: YES
NUMBER OF NEGATIVE EIGEN VALUES: 9 OUT OF 10
ITERATIONS       : 10
ESTIMATED ERROR  : 2.43788e-12
NORM 2 ERROR     : 1.77969e-11
NORM 2 AVG ERROR : 1.77969e-12
NORM INF ERROR   : 8.2061e-12
EX 2:
IS SELFADJOINT: YES
NUMBER OF NEGATIVE EIGEN VALUES: 4 OUT OF 10
ITERATIONS       : 1
ESTIMATED ERROR  : 1.72812e-16
NORM 2 ERROR     : 2.97281
NORM 2 AVG ERROR : 0.297281
NORM INF ERROR   : 1.45547
EX 3:
IS SELFADJOINT: YES
NUMBER OF NEGATIVE EIGEN VALUES: 5 OUT OF 10
ITERATIONS       : 9
ESTIMATED ERROR  : 7.73713e-14
NORM 2 ERROR     : 8.55003e-14
NORM 2 AVG ERROR : 8.55003e-15
NORM INF ERROR   : 5.29576e-14

例 0 是正定矩阵。 示例 1 2 3 是对称 NON 正定矩阵。示例 1 和 3 正确求解，而示例 2 失败。

该实现看起来类似于经典的 CG 实现。

问题： 特征中是否有任何技巧可以处理非正定矩阵？ 示例 2 是否不尊重某些要求以便由 Eigen 使用 CG 解决？

Answer 1

CG可用于求解矩阵不是正定和对称的系统，方式如下：CG 算法必须应用于系统 [A]T[A]x=[A]Tb，其中 [A]T代表转置矩阵。在这种情况下，[A]T[A] 是对称的和正定的，除非[A]是单数。缺点是 [A]T[A] 具有原始矩阵条件比的平方，因此如果 cond([A]) 超过 appox。10e7，CG迭代根本不可能收敛，和/或生成的向量x可能没有任何有效数字。如果你的矩阵在数值意义上相当"好"，比如 cond([A]) 不超过大约 10e3 或 10e4，你可能会期望迭代收敛，并且解决方案将有几个有效数字。以下出版物包含实现此类算法的源代码：https://www.amazon.com/Solution-Systems-Algebraic-Equations-Matrices/dp/0646990454