我正在学习马丁·奥德斯基（Martin Odersky）的FP课程，其中一节课通过牛顿法演示了高阶函数，用于寻找某些函数的不动点。讲座中有一个关键步骤，我认为打字签名被违反了，所以我想请你解释一下。（对入站的冗长介绍表示歉意——它觉得这是必要的。）
实现这种算法的一种方法是这样给出的：
val tolerance = 0.0001
def isCloseEnough(x: Double, y: Double) = abs((x - y) / x) / x < tolerance
def fixedPoint(f: Double => Double)(firstGuess: Double) = {
def iterate(guess: Double): Double = {
val next = f(guess)
if (isCloseEnough(guess, next)) next
else iterate(next)
}
iterate(firstGuess)
}
接下来，我们尝试通过fixedPoint函数计算平方根，但通过的天真尝试
def sqrt(x: Double) = fixedPoint(y => x / y)(1)
由于这种方法振荡（因此，对于sqrt(2)，结果将在1.0和2.0之间无限交替），被挫败
为了解决这个问题，我们引入了平均阻尼，因此本质上我们计算两个最近计算值的平均值，并收敛到解，因此
def sqrt(x: Double) = fixedPoint(y => (y + x / y) / 2)(1)
最后，我们介绍了averageDamp函数，任务是用fixedPoint和averageDamp编写sqrt。averageDamp定义如下：
def averageDamp(f: Double => Double)(x: Double) = (x + f(x)) / 2
我不明白的部分来了——我最初的解决方案是：
def sqrt(x: Double) = fixedPoint(z => averageDamp(y => x / y)(z))(1)
但奥德斯基教授的解决方案更为简洁：
def sqrt(x: Double) = fixedPoint(averageDamp(y => x / y))(1)
我的问题是——为什么它有效？根据函数签名，fixedPoint函数应该接受一个函数（Double => Double），但它不介意被传递一个普通的Double（这就是averageDamp返回的值——事实上，如果你试图将Double的返回类型显式指定给averageDamp，编译器不会抛出错误）。
我认为我的方法正确地遵循了类型——那么我在这里缺少了什么呢？averageDamp返回函数在哪里指定或暗示（？），特别是在右侧明显返回标量的情况下？如何将标量传递给一个显然只期望函数的函数？您如何解释似乎不支持类型签名的代码？
您的解决方案是正确的，但它可以更简洁。
让我们更仔细地研究一下averageDamp函数。
def averageDamp(f: Double => Double)(x: Double): Double = (x + f(x)) / 2
添加了返回类型注释以使其更加清晰。我想你错过的是这里：
但它并不介意被传递一个普通的Double（这就是averageDump返回的值——事实上，如果您试图显式指定将Double类型返回到averageDump，编译器不会抛出错误）。
但是averageDamp(y => y/x)确实返回了一个Double => Double函数！averageDamp需要传递两个参数列表才能返回Double。
如果函数只接收一个参数，它仍然希望完成另一个参数。因此，它不是立即返回结果，而是返回一个函数，说"我这里仍然需要一个参数，给我这个，这样我就会返回你想要的"。
MO教授确实向其传递了ONE函数参数，而不是两个，因此averageDamp被部分应用，因为它返回了一个Double => Double函数。
本课程还将告诉您具有多个参数列表的函数是以下语法形式的糖：
def f(arg1)(arg2)(arg3)...(argN-1)(argN) = (argN) => f(arg1)(arg2)(arg3)...(argN-1)
如果你给出的参数比f需要的少一个，它只会返回方程的右边，也就是一个函数。因此，注意传递给fixPoint的参数averageDamp(y => x / y)实际上是一个函数，这应该有助于您理解这个问题。
注意：部分应用函数（或函数currying）和多参数列表函数之间存在一些差异
例如，您不能像这样声明
val a = averageDamp(y => y/2)
编译器会抱怨"方法不是部分应用的函数"。
区别在这里解释：What'；Scala中多个参数列表和每个列表多个参数的区别是什么？。
多个参数列表是返回另一个函数的函数的语法糖。你可以在scala shell中看到这一点：
scala> :t averageDamp _
(Double => Double) => (Double => Double)
我们可以在没有语法糖的情况下编写相同的函数——这是我们在例如Python:中的做法
def averageDamp(f: Double => Double): (Double => Double) = {
def g(x: Double): Double = (x + f(x)) / 2
g
}
返回一个函数一开始可能看起来有点奇怪，但它是对将函数作为参数传递的补充，并支持一些非常强大的编程技术。函数只是另一种类型的值，如Int或String。
在最初的解决方案中，您重用了变量名y，我认为这会使它有点混乱；我们可以把你写的东西翻译成：
def sqrt(x: Double) = fixedPoint(z => averageDamp(y => x / y)(z))(1)
有了这个表格，你有望看到模式：
def sqrt(x: Double) = fixedPoint(z => something(z))(1)
希望现在很明显，这与相同
def sqrt(x: Double) = fixedPoint(something)(1)
这是奥德斯基的版本。