列表中位数的位置

Question

我有一个未排序的数组，我需要中位数的位置。我知道有几种算法可以在O(n)内计算给定数组的中位数，但它们都包括某种数组的重新排序，比如中位数的中位数和随机选择。

我对中位数本身不感兴趣，我只对它在数组中的位置感兴趣。

有没有办法在O(n)内完成?跟踪所有的交换将创建一个巨大的开销，所以我正在寻找另一个解决方案。

Answer 1

假设你有一个数据数组，你想找到它的中位数:

double data[MAX_DATA] = ...

创建一个索引数组，并将每个索引初始化为自己的位置，如下所示:

int index[MAX_DATA];
for (int i = 0 ; i != MAX_DATA ; i++) {
    index[i] = i;
}

现在实现线性中位数算法，修改如下:

• 原算法比较data[i]和data[j]时，替换为data[index[i]]和data[index[j]]的比较
• 原算法交换data[i]和data[j]时，交换index[i]和index[j]。

由于data的元素一直保持在原来的位置，修改后的算法将生成未修改数组中位数的位置，而不是将一些元素移动到不同位置后的中位数在数组中的位置。

在c++中，你可以用指针代替索引来实现这一点，并在指针容器上使用std::nth_element，如下所示:

vector<int> data = {1, 5, 2, 20, 10, 7, 9, 1000};
vector<const int*> ptr(data.size());
transform(data.begin(), data.end(), ptr.begin(), [](const int& d) {return &d;});
auto mid = next(ptr.begin(), data.size() / 2);
nth_element(ptr.begin(), mid, ptr.end(), [](const int* lhs, const int* rhs) {return *lhs < *rhs;});
ptrdiff_t pos = *mid - &data[0];
cout << pos << endl << data[pos] << endl;

Answer 2

下面是生成二级索引数组的工作示例，并通过std::nth_element和间接比较找到输入数组的中位数

#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <iterator>
int main()
{
   // input data, big and expensive to sort or copy
   std::string big_data[] = { "hello", "world", "I", "need", "to", "get", "the", "median", "index" };    
   auto const N = std::distance(std::begin(big_data), std::end(big_data));
   auto const M = (N - 1) / 2; // 9 elements, median is 4th element in sorted array
   // generate indices
   std::vector<int> indices;
   auto value = 0;
   std::generate_n(std::back_inserter(indices), N, [&](){ return value++; });
   // find median of input array through indirect comparison and sorting
   std::nth_element(indices.begin(), indices.begin() + M, indices.end(), [&](int lhs, int rhs){ 
       return big_data[lhs] < big_data[rhs]; 
   });
   std::cout << indices[M] << ":" << big_data[indices[M]] << "n";
   // check, sort input array and confirm it has the same median
   std::sort(std::begin(big_data), std::end(big_data));
   std::cout << M << ":" << big_data[M] << "n";
}

在线输出。

该算法保证O(N)复杂度，因为它是std::generate_n和std::nth_element的和，它们的输入数据都是O(N)。

Answer 3

存在一种O(n log n)算法用于跟踪无限数流的中位数。(由于您不想更改列表，您也可以将其视为流。)该算法涉及两个堆;一个总是指向下半部分的最大值，另一个总是指向上半部分的最小值。算法解释在这里:http://www.ardendertat.com/2011/11/03/programming-interview-questions-13-median-of-integer-stream/。