测试点是否位于4D中的2D拟合平面上

Question

假设我在R^4中有3+个共面但不共线的点。为了找到它们所在的2D平面（而不是超平面），我使用了以下来自MatlabCentral的平面拟合算法：

function [n,V,p] = affine_fit(X)
    % Computes the plane that fits best (least square of the normal distance
    % to the plane) a set of sample points.
    % INPUTS:
    % X: a N by 3 matrix where each line is a sample point
    %OUTPUTS:
    %n : a unit (column) vector normal to the plane
    %V : a 3 by 2 matrix. The columns of V form an orthonormal basis of the plane
    %p : a point belonging to the plane
    %NB: this code actually works in any dimension (2,3,4,...)
    %Author: Adrien Leygue
    %Date: August 30 2013
    % the mean of the samples belongs to the plane
    p = mean(X,1);
    % The samples are reduced:
    R = bsxfun(@minus,X,p);
    % Computation of the principal directions of the samples cloud
    [V,D] = eig(R'*R);
    % Extract the output from the eigenvectors
    n = V(:,1);
    V = V(:,2:end);
end

我在比指定的维度更高的维度上使用了该算法，所以X是一个4x4矩阵，在4个坐标维度上包含4个点。生成的输出是这样的。

[n,V,p] = affine_fit(X);
n = -0.0252
    -0.0112
     0.9151
    -0.4024
V = 0.9129   -0.3475    0.2126
    0.3216    0.2954   -0.8995
    0.1249    0.3532    0.1493
    0.2180    0.8168    0.3512
p = -0.9125    1.0526    0.2325   -0.0621

我现在想做的是弄清楚我选择的其他点是否也是飞机的一部分。考虑到上面的信息，我相信这很容易，但在这一点上，我只知道我需要两个线性方程来描述4D中的2D平面，或者两个变量的参数方程。理论上我可以设置它们，但编写代码一直有问题。也许有一种更直接的方法可以在matlab中测试这一点？

Answer 1

您可以使用Matlab函数pca（参见此处的示例）。例如，您可以确定平面的基础、平面的法线向量以及平面上的点m，如下所示：

coeff = pca(X);
basis = coeff(:,1:2);
normals = coeff(:,3:4);
m = mean(X);

为了检查点p是否位于该平面中，使用点验证m-p与平面上的法向量正交（点积等于零）就足够了。