双三次插值在Matlab中的解释

Question

我对Matlab在http://www.mathworks.com/help/vision/ug/interpolation-methods.html#f13689上的双三次插值示例感到困惑

我想我理解他们的双线性例子。似乎他们取了两边相邻转换值的平均值。因此，为了得到第一行第一列中的0.5，取0和1的平均值。

对于他们的双三次插值例子，我对他们的方法相当困惑。他们说他们取"两边两个翻译值的加权平均值"。

在他们的例子中，他们有

1 2 3
4 5 6
7 8 9

，在双三次插值的第一步中，他们对矩阵加零并向右平移0.5像素，得到以下结果:

0 0 0 1 1 2 2 3 3 0 0 0 0
0 0 0 4 4 5 5 6 6 0 0 0 0
0 0 0 7 7 8 8 9 9 0 0 0 0

然后，使用加权平均，他们得到

0.375 1.500 3.000 1.625
1.875 4.875 6.375 3.125
3.375 8.250 9.750 4.625

然而，我不确定他们是如何得到这些数字的。不是第一行第一列的0.375，而是(1 * 3/8 + 2 * 1/8)= 5/8。这是因为格式似乎是

0  _  0  1  1  _  2
3d    d     d     3d

其中d为距离

所以要取转换值的加权平均值，我们可以注意到，我们可以先做(3d + d + d + 3d) = 1，所以d = 1/8。这意味着我们应该把3/8的权重放在每个较近的平移值上，把1/8的权重放在每个较远的平移值上。结果是(0 * 1/8 + 0 * 3/8 + 1 * 3/8 + 2 * 1/8)= 5/8，与3/8的结果不匹配。我想知道我哪里出错了。

谢谢!

Answer 1

双三次插值使用负权重(这有时会导致过滤时超调)。

在这个例子中，使用的权重是:

-1/8 5/8 5/8 -1/8

这些权重之和为1，但中间样本的权重较大，外部样本的权重较小(负)。

使用这些权重我们得到观察值，例如

0.375 = 5/8*1 -1/8*2
1.5 = 5/8*1+5/8*2 -1/8*3

Answer 2

我发现这个主题imresize -试图理解双三次插值可以解决你的困惑，特别是对于7个赞的评论。顺便说一下，在那个评论中，作者指出Matlab中的alpha = -0.5，这与我的经验相反。我写了两个函数来测试，我计算出Matlab集alpha = -0.9。

下面是我可以提供的代码:

立方:

function f = cubic(x)
    a = -0.9;
    absx = abs(x);
    absx2 = absx.^2;
    absx3 = absx.^3;
    f = ((a+2)*absx3 - (a+3)*absx2 + 1) .* (absx <= 1) + ...
        (a*absx3 -5*a*absx2 + 8*a*absx - 4*a) .* ((1 < absx) & (absx <= 2));
end

双三次插值:

function f = intpolcub(x1,x2,x3,x4,d)
    f = x1*cubic(-d-1) + x2*cubic(-d) + x3*cubic(-d+1) + x4*cubic(-d+2);
end

可以用下面的代码行进行测试:

intpolcub(0,0,1,2,0.5)

这再现了您上面提到的关于双三次插值的Matlab示例的输出矩阵中的第一个数字。

Answer 3

Matlab (R2017a)与a=-1一起工作:

为立方:

function f_c = cubic(x)
    a = -1;
    absx = abs(x);
    absx2 = absx.^2;
    absx3 = absx.^3;
    f_c = ((a+2)*absx3 - (a+3)*absx2 + 1) .* (absx <= 1) + ...
        (a*absx3 -5*a*absx2 + 8*a*absx - 4*a) .* ((1 < absx) & (absx <= 2));
end

对于双三次插值:

function f_bc = intpolcub(x1,x2,x3,x4,d)
    f_bc = x1*cubic(-d-1) + x2*cubic(-d) + x3*cubic(-d+1) + x4*cubic(-d+2);
end

测试:

intpolcub(0,0,1,2,0.5)

显式地:

f_bc = 0*cubic(-0.5-1)+0*cubic(-0.5)+1*cubic(-0.5+1)+2*cubic(-0.5+2) = 1*cubic(0.5)+2*(cubic(1.5);

现在0.5 (f_c<1)和1.5 (1<f_c<=2)的立方计算为:

cubic(0.5) = (-1+2)*0.5^3-(-1+3)*0.5^2+1 = 5/8
cubic(1.5) = (-1)*1.5^3-5*(-1)*1.5^2+8*(-1)*1.5-4*(-1) = -1/8

则f_bc为:

f_bc = 5/8+2*(-1/8) = 0.375