IEEE 754实数可以"cover"其范围内的所有整数吗？

原始问题经过编辑(缩短(，以关注精度问题，而不是范围问题。

单精度或双精度，实数的每个表示形式都限制为 (-范围，+范围(。在这个范围内有一些整数(1,2,3,4...等等;负数也是如此(。

是否可以保证IEEE 754实数(浮点数，双精度数等(可以"覆盖"其范围内的所有整数？我所说的"覆盖"是指实数将准确地表示整数，而不是(例如("5.000001"。

提醒一下：http://www3.ntu.edu.sg/home/ehchua/programming/java/DataRepresentation.html 各种数字表示格式的很好的解释。

更新：

因为问题是"可以"，我也在寻找这个事实，这是不可能做到的——因为它引用一个数字就足够了。例如"不，它不能做到，例如数字1748574不是用浮点数准确表示的"(当然，这个数字是凭空取的(。

对于好奇的读者

如果您想使用IEEE 754表示 -- 在线计算器：http://www.ajdesigner.com/fl_ieee_754_word/ieee_32_bit_word.php

不，不是全部，但存在一个范围，您可以在该范围内准确表示所有整数。

32位浮点数的结构

32 位浮点类型使用

符号为 1 位
指数为 8 位
分数为 23 位(前导 1 隐含(

表示数字

基本上，您有一个数字的形式

(-)1.xxxx_xxxx_xxxx_xxxx_xxxx_xxx (binary)

然后，您用(无偏(指数向左/向右移动。

要让它表示需要 n 位的整数，您需要将其向左移动 n-1 位。(浮点之外的所有x es 都为零(

表示 24 位的整数

很容易看出，我们可以表示所有需要 24 位(或更少(的整数

1xxx_xxxx_xxxx_xxxx_xxxx_xxxx.0 (unbiased exponent = 23)

因为我们可以将 x ES 随意设置为 1 或 0 .

我们可以以这种方式表示的最大数字是：

1111_1111_1111_1111_1111_1111.0

或2^24 - 1 = 16777215

下一个较高的整数是 1_0000_0000_0000_0000_0000_0000 。因此，我们需要 25 位。

表示 25 位的整数

如果尝试表示 25 位整数(无偏指数 = 24(，则数字具有以下形式：

1_xxxx_xxxx_xxxx_xxxx_xxxx_xxx0.0

您可以使用的 23 位数字都已移过浮点数。前导数字始终为 1。我们总共有 24 位数字。但由于我们需要 25，因此附加一个零。

找到最大值

我们可以表示 ''1_0000_0000_0000_0000_

0000_0000_0000 with the form 1_xxxx_xxxx_xxxx_xxxx_xxxx_xxx0.0 , by simply assigning 1 to all x es. The next higher integer from that is:

1_0000_0000_0000_0000_0000_0001

. It's easy to see that this number cannot be represented accurately, because the form does not allow us to set the last digit to

1 : It is always 0"。

因此，1后跟 24 个零是我们可以准确表示的整数的上限。下限只是将其符号位翻转。

可以表示所有整数的范围(包括边界(

2²⁴ 作为上限
-2²⁴ 作为下限

64位浮点数的结构

符号为 1 位
11 指数位
52 个小数位

可以表示所有整数的范围(包括边界(

2⁵³ 作为上限
-2⁵³ 作为下限

通过将相同的参数应用于 64 位浮点数的结构，这很容易实现。

注意：这并不是说这些都是我们可以表示的整数，但它为您提供了一个可以表示所有整数的范围。超出该范围，我们只能表示 2 的幂乘以所述范围内的整数。

组合论证

简单地说服自己，32位浮点数不可能

代表32位整数可以表示的所有整数，我们甚至不需要看浮点数的结构。

位，我们可以表示 2³² 种不同的东西。不多也不少。
一个 32 位整数使用所有这些"事物"来表示数字(成对不同(。
32 位浮点数可以表示至少一个带有小数部分的数字。

因此，除了所有 2 个^{32 个}整数之外，32 位浮点数不可能表示这个小数。

macias，以添加到 phant0m 已经很好的答案中(赞成;我建议你接受(，我会用你自己的话。

"不，这是不可能的，例如数字16777217不是用浮点数准确表示的。">

此外，"例如，数字9223372036854775809不能完全用双精度数字表示"。

这是假设您的计算机使用的是IEEE浮点格式，这是一个非常有力的赌注。

No.

例如，在我的系统上，类型 float 最多可以表示大约 3.40282e+38 的值。作为一个整数，大约是340282000000000000000000000000000000000，或大约2¹²⁸。

float的大小为 32 位，因此它最多可以精确表示 2³² 个不同的数字。

整数对象通常使用其所有位来表示值(1 位专用于有符号类型的符号位(。浮点对象使用其一些位来表示指数(IEEE 32 位为 8 位float(;这增加了其范围，但代价是失去精度。

一个具体的例子(1267650600228229401496703205376.0是2¹⁰⁰，可以精确地表示为float(：

#include <stdio.h>
#include <float.h>
#include <math.h>
int main(void) {
    float x = 1267650600228229401496703205376.0;
    float y = nextafterf(x, FLT_MAX);
    printf("x = %.1fn", x);
    printf("y = %.1fn", y);
    return 0;
}

我的系统上的输出是：

x = 1267650600228229401496703205376.0
y = 1267650751343956853325350043648.0

另一种看待它的方式：

一个 32

位对象最多可以表示 2³² 个不同的值。

32 位有符号整数可以表示 -2147483648 范围内的所有整数值。 2147483647 (-2³¹ .. +2^31-1(。

32 位float可以表示 32 位有符号整数不能表示的许多值，因为它们是小数 (0.5( 或因为它们太大 (2.0¹⁰⁰(。由于有些值可以用 32 位float表示，但不能用 32 位int表示，因此必须有其他值可以用 32 位int表示，但不能用 32 位float表示。这些值是整数，其有效位数多于float可以处理的位数，因为int有 31 个值位，但float只有大约 24 个。

显然，

您是在问 Real 数据类型是否可以表示其范围内的所有整数值(绝对值高达 FLT_MAX 或 DBL_MAX，C 或其他语言中的类似常量(。

存储在

K 位中的浮点数表示的最大数字通常比 K 位可以表示的 2^K 整数数大得多，因此答案通常是否定的。 32 位 C 浮点数超过 10^37,32 位 C 整数小于 10^10。要找出某个数字之后的下一个可表示数字，请使用 nextafter(( 或 nextafterf((。例如，代码

printf ("%20.4f %20.4fn", nextafterf(1e5,1e9), nextafterf(1e6,1e9));
printf ("%20.4f %20.4fn", nextafterf(1e7,1e9), nextafterf(1e8,1e9));

打印输出

     100000.0078         1000000.0625
   10000001.0000       100000008.0000

您可能对是否可以精确表示介于两个附近的小数浮点值 R 和 S 之间的整数 J 感兴趣，假设 S-R <1 和 R

我还没有填写所有细节来表明 J*P-U

32位浮点数的结构

64位浮点数的结构

组合论证

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