Background
我正在从事一个涉及求解大型未定方程组的项目。
我目前的算法计算代表给定系统的矩阵的SVD(numpy.linalg.svd)，然后使用其结果来计算摩尔-彭罗斯伪逆和矩阵的右零空间。我使用空空间来查找具有唯一解决方案的所有变量，并使用伪逆空间来找出它的值。
但是，MPP(摩尔彭罗斯伪逆)非常密集，对于我的服务器来说有点太大了。
问题
我找到了以下论文，其中详细介绍了一个稀疏伪逆，它保持了MPP的大部分基本属性。这显然是我非常感兴趣的，但我根本没有数学背景来理解他是如何计算伪逆的。是否可以使用 SVD 进行计算？如果没有，最好的方法是什么？
详
这些是我认为可能相关的论文中的几行，但我不够过时，无法理解
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spinv(A) = arg min ||B||受制于 BA = 在 其中 ||B||表示 B 的条目 l1 范数
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这通常是一个难以处理的问题，因此我们使用标准线性松弛与 l1 范数
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sspinv(A) = ητ {[spinv(A)]}， with ητ (u) = u1|u|≥τ
编辑
在此处查找我的代码和有关实际实现的更多详细信息
据我了解，以下是论文对稀疏伪逆的描述：
它说
我们的目标是最小化spinv(A)中的非零数量
这意味着你应该采用 L0 范数(参见 David Donoho 的定义：非零条目的数量)，这使得问题变得棘手。
spinv(A) = argmin ||B||_0 subject to B.A = I
因此，他们转向凸松弛这个问题，以便可以通过线性规划来解决。
这通常是一个无法处理的问题，因此我们使用标准 线性松弛与'1范数。
那么放松的问题是
spinv(A) = argmin ||B||_1 subject to B.A = I (6)
这有时被称为基追求，并且倾向于产生稀疏解(参见Boyd和Vandenberghe的凸优化，第6.2节最小范数问题)。
所以，解决这个松弛的问题。
线性规划(6)是可分的，可以通过计算一个来解决 一次 B 行
因此，您可以解决以下形式的一系列问题以获得解决方案。
spinv(A)_i = argmin ||B_i||_1 subject to B_i.A = I_i
其中_i表示矩阵的第 i 行。
请参阅此处了解如何将此绝对值问题转换为线性程序。
在下面的代码中，我稍微将问题更改为spinv(A)_i = argmin ||B_i||_1 subject to A.B_i = I_i其中_i是矩阵的第 i 列，因此问题变得spinv(A) = argmin ||B||_1 subject to A.B = I.老实说，我不知道两者之间是否有区别。在这里，我使用的是 scipy 的linprog单纯形方法。我不知道单纯形的内部结构是否使用 SVD。
import numpy as np
from scipy import optimize
# argmin ||B_i||_1 stubect to A.B_i = I_i, where _i is the ith column
# let B_i = u_i - v_i where u_i >= 0 and v_i >= 0
# then ||B_i||_1 = [1' 1'][u_i;v_i] which is the objective function
# and A.B_i = I_i becomes
# A.[u_i - v_i] = I_i
# [A -A][u_i;v_i] = I_i which is the equality constraint
# and [u_i;v_i] >= 0 the bounds
# here A is n x m (as opposed to m x n in paper)
A = np.random.randn(4, 6)
n, m = A.shape
I = np.eye(n)
Aeq = np.hstack((A, -A))
# objective
c = np.ones((2*m))
# spinv
B = np.zeros((m, n))
for i in range(n):
beq = I[:, i]
result = optimize.linprog(c, A_eq=Aeq, b_eq=beq)
x = result.x[0:m]-result.x[m:2*m]
B[:, i] = x
print('spinv(A) = n' + str(B))
print('pinv(A) = n' + str(np.linalg.pinv(A)))
print('A.B = n' + str(np.dot(A, B)))
下面是一个输出。spinv(A)比pinv(A)稀疏。
spinv(A) =
[[ 0. -0.33361925 0. 0. ]
[ 0.04987467 0. 0.12741509 0.02897778]
[ 0. 0. -0.52306324 0. ]
[ 0.43848257 0.12114828 0.15678815 -0.19302049]
[-0.16814546 0.02911103 -0.41089271 0.50785258]
[-0.05696924 0.13391736 0. -0.43858428]]
pinv(A) =
[[ 0.05626402 -0.1478497 0.19953692 -0.19719524]
[ 0.04007696 -0.07330993 0.19903311 0.14704798]
[ 0.01177361 -0.05761487 -0.23074996 0.15597663]
[ 0.44471989 0.13849828 0.18733242 -0.20824972]
[-0.1273604 0.15615595 -0.24647117 0.38047901]
[-0.04638221 0.09879972 0.21951122 -0.33244635]]
A.B =
[[ 1.00000000e+00 -1.82225048e-17 6.73349443e-18 -2.39383542e-17]
[-5.20584593e-18 1.00000000e+00 -3.70118759e-16 -1.62063433e-15]
[-8.83342417e-18 -5.80049814e-16 1.00000000e+00 3.56175852e-15]
[ 2.31629738e-17 -1.13459832e-15 -2.28503999e-16 1.00000000e+00]]
为了进一步稀疏化矩阵，我们可以逐个硬应用 阈值，从而牺牲反相特性并计算 近似稀疏伪逆
如果您不想在稀疏 pinv 中保留小条目，可以像这样删除它们：
Bt = B.copy()
Bt[np.abs(Bt) < 0.1] = 0
print('sspinv_0.1(A) = n' + str(Bt))
print('A.Bt = n' + str(np.dot(A, Bt)))
要得到
sspinv_0.1(A) =
[[ 0. -0.33361925 0. 0. ]
[ 0. 0. 0.12741509 0. ]
[ 0. 0. -0.52306324 0. ]
[ 0.43848257 0.12114828 0.15678815 -0.19302049]
[-0.16814546 0. -0.41089271 0.50785258]
[ 0. 0.13391736 0. -0.43858428]]
A.Bt =
[[ 9.22717491e-01 1.17555372e-02 6.73349443e-18 -1.10993934e-03]
[ 1.24361576e-01 9.41538212e-01 -3.70118759e-16 1.15028494e-02]
[-8.76662313e-02 -1.36349311e-02 1.00000000e+00 -7.48302663e-02]
[-1.54387852e-01 -3.27969169e-02 -2.28503999e-16 9.39161039e-01]]
希望我回答了您的问题，如果您需要更多详细信息，请提供足够的参考资料。如果您有任何问题，请告诉我。我不是专家，所以如果你对我的主张有任何疑问，你可以随时询问数学堆栈交换专家(当然没有任何代码)，请告诉我。
这是一个有趣的问题。它使我能够复习我的线性代数和我知道的很少的优化，所以谢谢你:)