平滑三次贝塞尔曲线的条件

Question

我有起点和终点，以及曲线在这些点上的斜率值。现在，我必须通过两个给定的点绘制一条"平滑的2D贝塞尔曲线"。现在如何定位两个控制点来实现这一点。有什么办法吗？我知道控制点必须位于各自起点和终点的切线上。

• 注：所谓"平滑曲线"，我的意思是在最终的绘图中不应该有陡峭的曲线或转弯

Answer 1

在这种情况下，听起来你有一个catmull rom曲线坐标（两个点，以及它们的出发切线和到达切线）https://pomax.github.io/bezierinfo/#catmullconv涵盖了将这些坐标转换为贝塞尔坐标所需的所有数学运算。如果你不在乎"如何"，只需跳到本节的末尾，了解直接的转换规则。

tl；dr版本：将坐标改写为Catmull形式：

[P1, v1, v2, P2] -> [P1 - v1, P1, P2, P2 + v2]

然后我们将其转换为贝塞尔坐标：

P1 <= P1
p2 <= P1 - (P2 - P1 - v1) / 6 * f
p3 <= P2 + (P2 + v2 - P1) / 6 * f
p4 <= P2

CCD_ 1是张力常数。玩吧。它通常是1，但可能并不取决于这些切线的强度。

Answer 2

对于由P0、P1、P2和P3定义的三次贝塞尔曲线，其中P0和P3是起点和终点，其在t=0和t=1处的一阶导数向量是

C'（t=0）=3*（P1-P0）
C'（t=1）=3*（P3-P2）

因此，如果你已经知道起点和终点的斜率，你可以很容易地将其转换为切线向量，并找到控制点P1和P2。您确实需要为一阶导数向量指定适当的幅值，以便最终生成的曲线不具有拐点。但是，只要你确保P0、P1、P2和P3形成的控制多边形是凸的，那么你的三次贝塞尔曲线应该是平滑的，没有转折点。