n-queens难题是将n个女王放在n x n棋盘上的问题，这样就不会有两个女王互相攻击。
给定一个整数 n，返回 n-queens 难题的不同解的数量。
https://leetcode.com/problems/n-queens-ii/
我的解决方案：
class Solution:
def totalNQueens(self, n: int) -> int:
def genRestricted(restricted, r, c):
restricted = set(restricted)
for row in range(n): restricted.add((row, c))
for col in range(n): restricted.add((r, col))
movements = [[-1, -1], [-1, 1], [1, -1], [1, 1]]
for movement in movements:
row, col = r, c
while 0 <= row < n and 0 <= col < n:
restricted.add((row, col))
row += movement[0]
col += movement[1]
return restricted
def gen(row, col, curCount, restricted):
count, total_count = curCount, 0
for r in range(row, n):
for c in range(col, n):
if (r, c) not in restricted:
count += 1
if count == n: total_count += 1
total_count += gen(row + 1, 0, count, genRestricted(restricted, r, c))
count -= 1
return total_count
return gen(0, 0, 0, set())
它在 n=8 时失败。我不知道为什么，以及如何减少迭代。看来我已经在做尽可能少的迭代了。
restricted集似乎很浪费，无论是在时间和空间上。在成功递归结束时，n级别深入，它增长到n^2大小，这将总复杂性推向O(n^3)。而且它并不是真正需要的。通过查看已经放置的皇后来检查广场的可用性要容易得多(请原谅国际象棋术语;file代表垂直，rank代表水平)：
def square_is_safe(file, rank, queens_placed):
for queen_rank, queen_file in enumerate(queens_placed):
if queen_file == file: # vertical attack
return false
if queen_file - file == queen_rank - rank: # diagonal attack
return false
if queen_file - file == rank - queen_rank: # anti-diagonal attack
return false
return true
用于
def place_queen_at_rank(queens_placed, rank):
if rank == n:
total_count += 1
return
for file in range(0, n):
if square_is_safe(file, rank, queens_placed):
queens_placed.append(file)
place_queen_at_rank(queens_placed, rank + 1)
queens_placed.pop()
并且有很大的优化空间。例如，您可能希望对第一个等级进行特殊处理：由于对称性，您只需要检查其中的一半(将执行时间缩短 2 倍)。
您可以通过每行仅放置一个女王来避免检查水平冲突。 这还允许您通过仅标记后续行来减小对角线冲突矩阵的大小。 对列冲突使用简单的布尔标志列表也可以节省时间(与标记矩阵中的多个条目相反)
下面是一个作为解决方案生成器的示例：
def genNQueens(size=8):
# setup queen coverage from each position {position:set of positions}
reach = { (r,c):[] for r in range(size) for c in range(0,size) }
for R in range(size):
for C in range(size):
for h in (1,-1): # diagonals on next rows
reach[R,C].extend((R+i,C+h*i) for i in range(1,size))
reach[R,C] = [P for P in reach[R,C] if P in reach]
reach.update({(r,-1):[] for r in range(size)}) # for unplaced rows
# place 1 queen on each row, with backtracking
cols = [-1]*size # column of each queen (start unplaced)
usedCols = [False]*(size+1) # column conflict detection
usedDiag = [[0]*(size+1) for _ in range(size+1)] # for diagonal conflicts
r = 0
while r >= 0:
usedCols[cols[r]] = False
for ur,uc in reach[r,cols[r]]: usedDiag[ur][uc] -= 1
cols[r] = next((c for c in range(cols[r]+1,size)
if not usedCols[c] and not usedDiag[r][c]),-1)
usedCols[cols[r]] = True
for ur,uc in reach[r,cols[r]]: usedDiag[ur][uc] += 1
r += 1 if cols[r]>=0 else -1 # progress or backtrack
if r<size : continue # continue until all rows placed
yield [*enumerate(cols)] # return result
r -= 1 # backtrack to find more
输出：
from timeit import timeit
for n in range(3,13):
t = timeit(lambda:sum(1 for _ in genNQueens(n)), number=1)
c = sum(1 for _ in genNQueens(n))
print(f"solutions for {n}x{n}:", c, "time:",f"{t:.4g}")
solutions for 3x3: 0 time: 0.000108
solutions for 4x4: 2 time: 0.0002044
solutions for 5x5: 10 time: 0.0004365
solutions for 6x6: 4 time: 0.0008741
solutions for 7x7: 40 time: 0.003386
solutions for 8x8: 92 time: 0.009881
solutions for 9x9: 352 time: 0.03402
solutions for 10x10: 724 time: 0.1228
solutions for 11x11: 2680 time: 0.5707
solutions for 12x12: 14200 time: 2.77
对于 n ≤ 9(链接谜题中的边界)，枚举车的所有有效位置并验证没有攻击对角线移动就足够了。
import itertools
def is_valid(ranks):
return not any(
abs(f1 - f2) == abs(r1 - r2)
for f1, r1 in enumerate(ranks)
for f2, r2 in enumerate(ranks[:f1])
)
def count_valid(n):
return sum(map(is_valid, itertools.permutations(range(n))))
print(*(count_valid(i) for i in range(1, 10)), sep=",")
只需一个更改(删除gen中的r循环)就可以使您的解决方案成为AC。
主要原因是你的gen有参数row，它会用row + 1调用自己，所以没有必要用for r in range(row, n):进行迭代。这是不必要的。只是删除它，您的解决方案是完全可以接受的。(我们需要在嵌套调用之前添加else)
以下是结果： 更改前：
1 1 1.8358230590820312e-05
2 0 5.7697296142578125e-05
3 0 0.00036835670471191406
4 2 0.0021448135375976562
5 10 0.02212214469909668
6 4 0.23602914810180664
7 40 3.0731561183929443
更改后：
1 1 1.6450881958007812e-05
2 0 3.1948089599609375e-05
3 0 0.0001366138458251953
4 2 0.0002281665802001953
5 10 0.0008234977722167969
6 4 0.0028502941131591797
7 40 0.01242375373840332
8 92 0.05443763732910156
9 352 0.2279810905456543
对于 n = 7 的情况，它只使用原始版本的0.4%时间，n = 8 绝对可以工作。
class Solution:
def totalNQueens(self, n: int) -> int:
def genRestricted(restricted, r, c):
restricted = set(restricted)
for row in range(n): restricted.add((row, c))
for col in range(n): restricted.add((r, col))
movements = [[-1, -1], [-1, 1], [1, -1], [1, 1]]
for movement in movements:
row, col = r, c
while 0 <= row < n and 0 <= col < n:
restricted.add((row, col))
row += movement[0]
col += movement[1]
return restricted
def gen(row, col, curCount, restricted):
count, total_count = curCount, 0
for c in range(col, n):
if (row, c) not in restricted:
count += 1
if count == n: total_count += 1
else: total_count += gen(row + 1, 0, count, genRestricted(restricted, row, c))
count -= 1
return total_count
return gen(0, 0, 0, set())
if __name__ == '__main__':
import time
s = Solution()
for i in range(1, 8):
t0 = time.time()
print(i, s.totalNQueens(i), 't', time.time() - t0)
当然，还可以进行其他增强。但这是最大的一个。
例如，您在添加每个点后更新并创建了一个新的限制/禁止点。 顺便说一句，我不同意@user58697restricted，根据您的解决方案，这是必要的，因为您需要克隆和更新以获取新的解决方案以避免在递归调用循环中恢复它。
BTW，以下是我的解决方案，仅供参考：
class Solution:
def solveNQueens_n(self, n): #: int) -> List[List[str]]:
cols = [-1] * n # index means row index
self.res = 0
usedCols = set() # this and cols can avoid vertical and horizontal conflict
def dfs(r): # current row to fill in
def valid(c):
for r0 in range(r):
# (r0, c0), (r1, c1) in the (back-)diagonal, |r1 - r0| = |c1 - c0|
if abs(c - cols[r0]) == abs(r - r0):
return False
return True
if r == n: # valid answer
self.res += 1
return
for c in range(n):
if c not in usedCols and valid(c):
usedCols.add(c)
cols[r] = c
dfs(r + 1)
usedCols.remove(c)
cols[r] = -1
dfs(0)
return self.res
在这种问题中，你必须首先关注算法，而不是代码。
在下文中，我将重点介绍算法，仅举一个示例C++来说明它。
一个主要问题是能够快速检测给定的位置是否已经由现有的女王控制。
一种简单的可能性是对角线(对于 0 到 2N-1)进行索引，如果相应的对角线、反对角线或列已经控制，则在数组中跟踪。任何索引对角线或对角线的方法都可以完成工作。对于给定的(row, column)点，我使用：
diagonal index = row + column
antidiagonal index = n-1 + col - row
此外，我使用一个简单的对称性：只需要计算可能性的数量 对于来自0 to n/2-1的行索引(如果n是奇数，则为n/2)。
通过使用其他对称性，可以肯定地加快一点速度。但是，实际上，对于小于或等于 9 的n值，它看起来足够快。
结果：
2 : 0 time : 0.001 ms
3 : 0 time : 0.001 ms
4 : 2 time : 0.001 ms
5 : 10 time : 0.002 ms
6 : 4 time : 0.004 ms
7 : 40 time : 0.015 ms
8 : 92 time : 0.05 ms
9 : 352 time : 0.241 ms
10 : 724 time : 0.988 ms
11 : 2680 time : 5.55 ms
12 : 14200 time : 31.397 ms
13 : 73712 time : 188.12 ms
14 : 365596 time : 1046.43 ms
这是C++中的代码。由于代码非常简单，您应该可以轻松地在 Python 中转换它。
#include <iostream>
#include <chrono>
constexpr int N_MAX = 14;
constexpr int N_DIAG = 2*N_MAX + 1;
class Solution {
public:
int n;
int Col[N_MAX] = {0};
int Diag[N_DIAG] = {0};
int AntiDiag[N_DIAG] = {0};
int totalNQueens(int n1) {
n = n1;
if (n <= 1) return n;
int count = 0;
for (int col = 0; col < n/2; ++col) {
count += sum_from (0, col);
}
count *= 2;
if (n%2) count += sum_from (0, n/2);
return count;
}
int sum_from (int row, int col) {
if (Col[col]) return 0;
int diag = row + col;
if (Diag[diag]) return 0;
int antidiag = n-1 + col - row;
if(AntiDiag[antidiag]) return 0;
if (row == n-1) return 1;
int count = 0;
Col[col] = 1;
Diag[diag] = 1;
AntiDiag[antidiag] = 1;
for (int k = 0; k < n; ++k) {
count += sum_from (row+1, k);
}
Col[col] = 0;
Diag[diag] = 0;
AntiDiag[antidiag] = 0;
return count;
}
};
int main () {
int n = 1;
while (n++ < N_MAX) {
auto start = std::chrono::high_resolution_clock::now();
Solution Sol;
std::cout << n << " : " << Sol.totalNQueens (n) << " time : ";
auto diff = std::chrono::high_resolution_clock::now() - start;
auto duration = std::chrono::duration_cast<std::chrono::microseconds>(diff).count();
std::cout << double(duration)/1000 << " ms" << std::endl;
}
return 0;
}
好吧，我错过的一件事是每排都必须有一个女王。非常重要的观察。Gen 方法必须像这样修改：
def gen(row, col, curCount, restricted):
if row == n: return 0
count, total_count = curCount, 0
for c in range(col, n):
if (row, c) not in restricted:
if count + 1 == n: total_count += 1
total_count += gen(row + 1, 0, count + 1, genRestricted(restricted, row, c))
return total_count
它只击败了~20%的提交，所以它一点也不完美。远非如此。