我在使用Householder Reflection算法实现QR分解时遇到问题。我得到了分解的正确数字，但符号不正确。我似乎无法解决导致此问题的原因，因为我在互联网上的其他地方找不到适用于该算法的好伪代码。我有一种感觉，这与我如何选择tau变量的符号有关，但我遵循课本上给我的伪代码。
我选择将此算法作为Fortran子程序编写，以准备即将对该材料进行的测试，目前，它只计算上三角矩阵，而不计算Q。以下是此算法给我的输出：
-18.7616634 -9.80723381 -15.7768545 -11.0864372
0.00000000 -9.99090481 -9.33576298 -7.53412533
0.00000000 0.00000000 -5.99453259 -9.80128098
0.00000000 0.00000000 0.00000000 -0.512612820
这是正确的输出：
18.7616634 9.80723286 15.7768517 11.0864372
0.00000000 9.99090672 9.33576488 7.53412533
0.00000000 0.00000000 5.99453354 9.80128098
0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.512614250
因此，这基本上只是一个迹象问题，因为价值观本身在其他方面是正确的。
! QR Decomposition with Householder reflections
! Takes a matrix square N x N matrix A
! upper triangular matrix R is stored in A
SUBROUTINE qrdcmp(A, N)
REAL, DIMENSION(10,10) :: A, Q, I_N, uu
REAL gamma, tau, E
INTEGER N, & ! value of n for n x n matrix
I,J,K ! loop indices
E = EPSILON(E) ! smallest value recognized by compiler for real
! Identity matrix initialization
DO I=1,N
DO J=1,N
IF(I == J) THEN
I_N(I,J) = 1.0
ELSE
I_N(I,J) = 0.0
END IF
END DO
END DO
! Main loop
DO K=1,N
IF(ABS(MAXVAL(A(K:N,K))) < E .and. ABS(MINVAL(A(K:N,K))) < E) THEN
gamma = 0
ELSE
tau = 0
DO J=K,N
tau = tau + A(J,K)**2.0
END DO
tau = tau**(0.5) ! tau currently holds norm of the vector
IF(A(K,K) < 0) tau = -tau
A(K,K) = A(K,K) + tau
gamma = A(K,K)/tau
DO J=K+1,N
A(J,K) = A(J,K)/A(K,K)
END DO
A(K,K) = 1
END IF
DO I=K,N
DO J=K,N
uu(I,J) = gamma*A(I,K)*A(J,K)
END DO; END DO
Q(K:N,K:N) = -1*I_N(K:N,K:N) + uu(K:N,K:N)
A(K:N,K+1:N) = MATMUL(TRANSPOSE(Q(K:N,K:N)), A(K:N,K+1:N))
A(K,K) = -tau
END DO
END SUBROUTINE qrdcmp
如有任何见解，我们将不胜感激。此外，如果我的代码不能像它可能的那样容易阅读，我很抱歉
在构造反射器时，可以在当前列向量和相关的基向量之间选择两个平分线。这是在IF(A(K,K) < 0) tau = -tau行中完成的，正如您已经确定的那样"不幸的是"；，避免取消问题的稳定选择，通常也会在R中产生符号翻转，正如您所观察到的。例如，对接近I的矩阵进行分解将产生接近Q,R = -I,-I的结果。如果您想要具有正对角线的R因子，则必须在完成分解后的额外步骤中将符号从R移动到Q。
LAPACK在很短的一段时间内使用了默认产生正对角线的选项，这产生了一些奇怪的错误/数值稳定性问题，而以前没有。