整数NxN矩阵的精确行列式

行列式定义只有加法、减法和乘法。因此，具有整数元素的矩阵的行列式必须是integer。

然而CCD_ 1返回一个"0"；稍微偏离"；浮点数：

>>> import numpy
>>> M = [[-1 if i==j else 1 for j in range(7)] for i in range(7)]
>>> numpy.linalg.det(M)
319.99999999999994

对于更大的矩阵，情况会变得更糟：

>>> M = [[-1024 if i==j else 1024 for j in range(7)] for i in range(7)]
>>> numpy.linalg.det(M)
3.777893186295698e+23
>>> "%.0f" % numpy.linalg.det(M)
'377789318629569805156352'

这是错误的！我相信正确的答案是：

>>> 320 * 1024**7
377789318629571617095680

当然，对于一个大矩阵来说，它可能是一个相当长的整数。但是python内置了长整数。

如何获得行列式的精确整数值而不是近似浮点值？

计算整数矩阵行列式的一种简单实用的方法是Bareiss算法。

def det(M):
M = [row[:] for row in M] # make a copy to keep original M unmodified
N, sign, prev = len(M), 1, 1
for i in range(N-1):
if M[i][i] == 0: # swap with another row having nonzero i's elem
swapto = next( (j for j in range(i+1,N) if M[j][i] != 0), None )
if swapto is None:
return 0 # all M[*][i] are zero => zero determinant
M[i], M[swapto], sign = M[swapto], M[i], -sign
for j in range(i+1,N):
for k in range(i+1,N):
assert ( M[j][k] * M[i][i] - M[j][i] * M[i][k] ) % prev == 0
M[j][k] = ( M[j][k] * M[i][i] - M[j][i] * M[i][k] ) // prev
prev = M[i][i]
return sign * M[-1][-1]

该算法相当快(O(N³)复杂性)。

这是一个整数保留算法。它确实有一个部门。但只要M的所有元素都是整数，所有中间计算也将是整数(除法余数将为零)。

另外，如果去掉assert行并用正则除法/替换整数除法//，则相同的代码适用于分数/浮点/复数元素。

PS:另一种选择是使用sympy而不是numpy:

>>> import sympy
>>> sympy.Matrix([ [-1024 if i==j else 1024 for j in range(7)] for i in range(7) ]).det()
377789318629571617095680

但这在一定程度上比上述det()函数慢得多。

# Performance test: `numpy.linalg.det(M)` vs `det(M)` vs `sympy.Matrix(M).det()`
import timeit
def det(M):
...
M = [[-1024 if i==j else 1024 for j in range(7)] for i in range(7)]
print(timeit.repeat("numpy.linalg.det(M)", setup="import numpy; from __main__ import M", number=100, repeat=5))
#: [0.0035009384155273, 0.0033931732177734, 0.0033941268920898, 0.0033800601959229, 0.0033988952636719]
print(timeit.repeat("det(M)", setup="from __main__ import det, M", number=100, repeat=5))
#: [0.0171120166778564, 0.0171020030975342, 0.0171608924865723, 0.0170948505401611, 0.0171010494232178]
print(timeit.repeat("sympy.Matrix(M).det()", setup="import sympy; from __main__ import M", number=100, repeat=5))
#: [0.9561479091644287, 0.9564781188964844, 0.9539868831634521, 0.9536828994750977, 0.9546608924865723]

摘要：

CCD_ 6比CCD_
det(M)比sympy.Matrix(M).det()快~50倍

如果没有numpy.linalg.det()0线，它会变得更快。

@pycoder的答案是首选解决方案；为了进行比较，我使用Fraction类编写了一个高斯消去函数，它允许有理数的精确算术。它比相同基准上的Bareiss算法慢大约11倍。

from fractions import Fraction
def det(matrix):
matrix = [[Fraction(x, 1) for x in row] for row in matrix]
n = len(matrix)
d, sign = 1, 1
for i in range(n):
if matrix[i][i] == 0:
j = next((j for j in range(i + 1, n) if matrix[j][i] != 0), None)
if j is None:
return 0
matrix[i], matrix[j] = matrix[j], matrix[i]
sign = -sign
d *= matrix[i][i]
for j in range(i + 1, n):
factor = matrix[j][i] / matrix[i][i]
for k in range(i + 1, n):
matrix[j][k] -= factor * matrix[i][k]
return int(d) * sign

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