r语言 - "One after the other" 离散随机变量的实现

Question

我遇到了以下问题：

给定n+1个离散随机变量：

X = {1,...,n} with P(x=i) = p_i
Y_i = {1,...,n_i} with P(y_i = j) = p_ij and i = 1,...,n

我们做以下事情：

1. 我们从X中绘制，结果决定了我们为下一步选择哪个Y_i：如果X=a，我们使用Y_a
2. 我们从中得出Y_ a

现在我的问题是：

1. 如何获得整体的期望值和方差
2. 这个"；过程"；由单个随机变量定义
3. 假设我们只知道所有Y_i的EV和Var，但不知道所有(甚至不知道(概率。我们还能计算出整个过程的EV和Var吗
4. 如果2(可以做到，如何在R中有效地做到这一点

给你一个我尝试过的例子：

X = {1,2} with P(x = 1) = 0.3 and P(x = 2) = 0.7
Y_1 = {2,3} with P(y_1 = 1) = 0.5 and P(y_1 = 3) = 0.5
Y_2 = {1,5,20} with P(y_2 = 1) = 0.3, P(y_2 = 5) = 0.6 and P(y_2 = 20) = 0.1

我曾试图将它们组合成一个单独的随机变量Z，但我不确定，如果可以这样做：

Z = {2,3,1,5,20} with probabilities (0.5*0.3, 0.5*0.3, 0.3*0.7, 0.6*0.7, 0.1*0.7)

加权EV是正确的；加权的"；Var不同——如果对独立随机变量使用线性组合的Var公式是正确的。(也许只是组合Var的公式是错误的。(

我使用了R；离散RV"：

install.packages("discreteRV")
library(discreteRV)
#defining the RVs
Y_1 <- RV(outcomes = c(2, 3), probs = c(0.5, 0.5)) #occures 30% of the time
Y_2 <- RV(outcomes = c(1, 5, 20), probs = c(0.3, 0.6, 0.1)) #occures 70% of the time
Z <- RV(outcomes = c(2, 3, 1, 5, 20), 
probs = c(0.5*0.3, 0.5*0.3, 0.3*0.7, 0.6*0.7, 0.1*0.7))

#calculating the EVs
E(Z)
E(Y_1)*0.3 + E(Y_2)*0.7
#calculating the VARs
V(Z)
V(Y_1)*(0.3)^2 + V(Y_2)*(0.7)^2

谢谢你的帮助。

Answer 1

实际上Z有一个由Y1和Y2扩展的更大的样本空间，这不是两个分量的线性叠加。换句话说，我们应该像Z = [0.3*Y1, 0.7*Y2]一样呈现Z，而不是Z = 0.3*Y1 + 0.7*Y2。

既然我们有

V(Z(=E(Z**2(-E(Z(**2

> E(Z**2) -E(Z)**2
[1] 20.7684
> V(Z)
[1] 20.7684

我们很容易发现，在术语E(Z)**2中，Y1和Y2之间存在叉积项，这就形成了V(Z) != V(Y_1)*(0.3)^2 + V(Y_2)*(0.7)^2。