最大安全整数是否可以用IEEE双格式2^53或2^54表示

Question

我在多篇文章中看到，IEEE双格式中可表示的最大安全整数是2^53：https://stackoverflow.com/a/3793950

https://stackoverflow.com/a/1848768

https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/Number/MAX_SAFE_INTEGER

但有一篇帖子说它是2^54：https://stackoverflow.com/a/12445693

可以表示所有整数的范围(包括边界)2^54作为上限-2^54作为下限

这个答案是错的还是我遗漏了什么？

编辑：

上面的帖子现在似乎被更正了。

Answer 1

但有一篇帖子说它是2^54:https://stackoverflow.com/a/12445693

所有整数都可以表示的范围(包括边界)2^54作为上界-2^54作为下界

这个答案是错的还是我遗漏了什么？

你没有遗漏什么。IEEE 754双精度二进制浮点("double")不能表示的第一个整数是2^53+1，这完全在所要求的-2^54..2^54的范围内。这可能是一个拼写错误，因为范围为-2^53..2^53(包括在内)的所有整数都可以表示。从2^53开始，只能表示2的倍数(所以2^53+2可以，但2^53+1不行)。由于JavaScript使用这种形式的double，因此很容易在实际操作中看到：

const x = 2**53;
const y = x + 1;
console.log(x.toLocaleString()); // 9,007,199,254,740,992
console.log(y.toLocaleString()); // 9,007,199,254,740,992 -- the same
console.log(x === y);            // true
const z = x + 2;
console.log(z.toLocaleString()); // 9,007,199,254,740,994

对于双精度，2^53-1是最后一个所谓的"；"安全"；整数，其中"；"安全"；定义为"；你可以加1得到下一个整数"(事实上，JavaScript甚至有一个值为2^53-1:Number.MAX_SAFE_INTEGER的常数。)当你加1时，你得到的下一个整数是(当然)2^53——格式无法再处理每个不同整数的第一个整数。从2^53开始，double只能计数2：2^53，2^53+2，2^53/4。。。也就是说，在这一点上，它只能存储2的倍数。(后来，它只能按4的倍数计数，后来只能按8的倍数计数。)

为了完整性：该格式可以(准确地)表示许多更大的整数，只是在这个幅度上，它不能表示所有的整数，因为该格式使用基值(尾数)和指数，当你达到2^53时，指数只能表示偶数(2的倍数)。稍后，指数再次滚动，只能表示4的倍数，等等。

让我们把它想象一下。IEEE-754相当复杂，但让我们举一个简化的例子(不是IEEE-754)来解释。假设我们有四位来存储指数，八位来存储尾数，假设我们只存储整数。这意味着当指数=1时，我们可以存储0到255的值：

概念，*NOT*IEEE-754！指数(二进制)Mantissa(二进制)结果值(十进制)0 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 1 10 0 1 0 0 0 0 1 2。。。0 0 1 1 1 1 11 1 1 1 0 2540 0 0 1 1 1 1 11 1 1 1 255

我们的尾数已达到最大值，因此我们通过使用指数=2并使尾数为2的倍数来牺牲范围的精度。现在我们只能按2计数：

概念，*NOT*IEEE-754！指数(二进制)Mantissa(二进制)结果值(十进制)0 0 2 0 0 0 0 1 20 0 2 0 0 0 0 1 0 4。。。0 0 0 2 0 1 1 1 1 11 1 2540 0 2 1 0 0 0 00 0 2 1 0 0 0 0 1 258。。。0 0 2 1 1 1 1 11 1 1 0 5080 0 0 2 1 1 1 1 11 1 1 1 510

请注意，我们可以精确地表示值256，即使它超出了尾数本身可以处理的范围(0-255)，因为对于指数，我们取尾数值(128)并将其加倍以得到256。这正是双冠王2^53的表现。但我们不能表示257，因为在这个量级上，我们只能处理2的倍数。这就是双精度中2^53+1的情况，我们不能表示它。不过我们可以表示2^53+2。

Answer 2

IEEE-754双精度格式中可表示的最大安全整数为2^53-1。如果您尝试存储大于此值的值，它将不再安全。虽然可以存储较大的整数，但如果你想确保它保持安全，我建议不要这样做，因为它们在2^53-1以上会变得不精确。编辑：正如Eric的评论所解释的那样，这些值本身仍然是精确的，但当进行算术时，它们就是四舍五入的。