由于公钥用于加密消息，私钥用于解密消息，那么私钥和公钥如何能够相互兼容？绿色钥匙如何打开红色锁着的门？
这是我的想法：
Hello被公钥加密，成为%/))=。然后私钥对消息进行解密。但由于密钥不同，因此生成的消息可能与已发送的消息不同，例如&#(($。
当然，我知道现实生活中使用的加密/解密算法是不同的，但这个问题是可以理解的。密钥是如何制作的，一个只能加密，另一个只能解密，同时都有足够的信息，使它们相互兼容？是算法处理的吗？
公钥密码学最早由W.Diffie和M.Hellman在他们的开创性论文"；密码学的新方向"；(1976)，他们在其中建议这种系统将基于活板门功能。这样的假设函数很容易计算，但有效地计算它的倒数需要额外的信息，这将是私钥。(这篇论文很短，值得全文阅读，很少有11页的论文对其领域做出如此大的贡献。)
正如在另一个答案中提到的，这样的函数的一个例子可以基于整数因子分解问题：乘两个素数很容易，但没有有效的(经典)算法来找到乘积的因子分解。后来，Rivest、Shamir和Adleman基于这一假设发明了第一个公钥算法(尽管这一假设很有道理，但尚未得到证实)。
简而言之，您可以将一对(e, N)作为公钥，其中
e是小素数(通常为65537)N是两个非常大的不同素数p和q的乘积，使得gcd(e, φ(N))=1，其中φ(N) = (p-1)*(q-1)
然后你可以找到d，这样：
cipher = plaintext ^ e mod N
plaintext = cipher ^ d mod N
该d是私钥。这里的技巧是，为了找到这样的d，有必要知道N的因子分解，即p和q。(正如@kelalaka在评论和他的帖子中指出的那样，因子分解可能没有必要在没有密钥的情况下恢复纯文本，但还没有人找到解决方法，所以这是另一种假设。)您可以在上面的RSA链接中阅读更多详细信息。
用铅笔和纸计算RSA很容易。它不提供任何安全性，但它可能会帮助您了解公钥和私钥是如何不同但又能协同工作的。
让我们使用模数n=143，公钥e=7，私钥d=43。有一些"；魔术；在如何确定这些数字方面，为了提供真正的安全性，它们需要大得多。这里的问题是，143是公钥的一部分，它足够小，可以很容易地将其纳入素数11和13，这是导致私钥的神奇成分。
我们可以用这个密钥对数字[0，n)进行加密，所以我们将用数字0-25代替字母A-Z。
RSA加密是c＝memod n，其中m是"；消息，"；我们的编码字母，c是该字母的密文。让我们加密"；HELO"；一封接一封。
- H->7:77mod 143=6
- E->4:47mod 143=82
- L->11:117mod 143=132
- O->14:147mod 143=53
RSA解密是m=cdmodn-
- 643mod 143=7->H
- 8243mod 143＝4->E
- 13243mod 143＝11->L
- 5343mod 143＝14->O
因此，您可以看到公钥7与私钥43不同，但它们与模143一起工作，在模幂运算下提供可逆变换。
这是"；魔术；曾经想出一对可以一起工作的钥匙。
- 选择两个素数：p=11，q=13
- 计算模量：n=p x q=143
- 计算总数：λ(n)=lcm(p-1，q-1)=lcm(10，12)=60
- 选择与λ(n)互质的公钥e：e=7
- 确定私钥d:d=e-1modλ(n)=43
我认为你有点误解了它；你不会因为试图用错误的密钥解密而得到错误的答案，你根本无法得到有效的解决方案。。。
如果你乘以2个素数(1是私钥，另一个是公钥)，那么它唯一能被整除的就是它自己，1和2个素数。
虽然你可以遍历每个素数，找出它是由哪些素数组成的(通过检查它是否划分成一个整数)，但没有快速的方法。
例如，如果我说91，它不是由7&13，如果你试图用91除以其他任何东西，你不会得到一个整数答案。
当这些数字长得多时，计算所需的时间会成倍地长，因此现代计算机需要直到宇宙热死亡才能解决这些问题，因此它实际上是牢不可破的。
Tom Scott在这段视频中很好地解释了这一点：https://www.youtube.com/watch?v=CINVwWHlzTY