将矩阵提升为幂

Question

假设我们有一个已知具有逆的埃尔米特矩阵A。

我知道LAPACK库中的ZGETRF和ZGETRI子程序可以计算逆矩阵。

LAPACK或BLAS库中是否有子程序可以直接计算A^{-1/2}或以任何其他方式计算A^{-1/2}？

Answer 1

您可以按照类似于矩阵指数的过程将矩阵提升为幂：

1. 对矩阵进行对角化，得到特征向量v_i和相应的特征值e_i
2. 将本征值提高到幂{e_i}^{-1/2}
3. 构造本征值为{e_i}^{-1/2}、本征向量为v_i的矩阵

值得注意的是，正如这里所描述的，这个问题没有唯一的解决方案。在上面的步骤2中，{e_i}^{-1/2}和-{e_i}^{-1/2}都将导致有效的解，因此N*N矩阵A将至少具有2^N矩阵B，使得B^{-2}=A。如果任何特征值是退化的，那么将存在有效解的连续空间。