计算r中四个连续随机变量的并集的概率

Question

我有四个自变量X1, X2, X3, X4，它们符合标准正态分布。我想计算P(X1 > A | X2 > A | X3 > A | X4 > A)的概率。我用R写了一个函数，它可以正确地计算a大于0的任何值的概率，但对于小于0的任何值，结果都太小了:

prob_union_greater <- function(x){ 
(1 - pnorm(x))*4 - 6*((1 - pnorm(x))^2) + 3*((1 - pnorm(x))^3) - ((1 - pnorm(x))^4)  
} 

我试图为P(X1 < A | X2 < A | X3 < A | X4 < A)的情况写一个类似的函数，在这里我面临着相反的问题:对于a的负值它有效，对于正值它不。

prob_union_smaller <- function(x){
pnorm(x)*4 - 6*(pnorm(x)^2) + 3*(pnorm(x)^3) - (pnorm(x)^4)  
}

我在这里错过了什么?

Answer 1

您可以尝试下面的代码

prob_union_greater <- function(x) {
p <- pnorm(x, lower.tail = FALSE)
4 * p - 6 * p^2 + 4 * p^3 - p^4
}
prob_union_smaller <- function(x) {
p <- pnorm(x)
4 * p - 6 * p^2 + 4 * p^3 - p^4
}

得到

> prob_union_greater(1)
[1] 0.4989328
> prob_union_smaller(1)
[1] 0.9993664

Answer 2

我认为你的函数可以更简洁地写成:

prob_union_greater <- function(x) (1 - pnorm(x)) * sum(pnorm(x)^(0:3))
prob_union_smaller <- function(x) prob_union_greater(-x)

这给了我们:

prob_union_greater(-1)
#> [1] 0.9993664
prob_union_greater(0)
#> [1] 0.9375
prob_union_greater(1)
#> [1] 0.4989328