是否有一个算法剪辑和重新分配值在一个数组受约束?

Question

我有一个实数x_i的数组x。其中一些值高于阈值常数c，因此需要对c以上的值进行裁剪，并将裁剪的量重新分配给数组中的其他元素。

x_i的变换受以下约束:

• x_i<c为所有i，其中c为已知阈值常数>
• sum(x)需要近似为零(尽可能接近零)
• sum(abs(x))需要小于某个已知常数g

x中值的变化应该是最小的，所以这本质上是优化问题。

我不确定这是什么类型的优化问题，如何解决它(如果有的话)或阅读什么相关文献。如果有人知道这个优化问题的具体类型，任何可以解决它的算法，或者我怎么去解决它，那将是非常感谢的。

Answer 1

所以，一个高级模型可以是这样的:

min sum(|x[i]-x0[i]|)
x[i] <= c
sum(x[i]) = 0
sum(|x(i)|) <= g

一些代码来测试一下:

import cvxpy as cv
import numpy as np
n = 20  
c = 7 # x <= c
g = 80 # sum(abs(x)) <= g
x0 = np.random.default_rng(123).uniform(-10,+10,n)
print(f"x0:n{x0}")
x = cv.Variable(n)
prob = cv.Problem(
cv.Minimize(cv.sum(cv.abs(x-x0))),
[x<=c, cv.sum(x)==0, cv.sum(cv.abs(x)) <= g]
)
prob.solve()
print(f"x:n{x.value}")
print(f"sum(x)   :{sum(x.value)}nsum(|x|) :{sum(np.abs(x.value))}nmax(x)   :{max(x.value)}") 

输出:

x0:
[ 3.64703726 -8.92357962 -5.59280254 -6.31256379 -6.48188198  6.24189013
8.46689996 -4.46851204  6.39509123  7.79785386  0.2594091  -5.10070798
6.48483192 -5.72474073  4.82934104  2.59880409  8.54814517 -5.36183623
5.98250257  0.36330074]
x:
[ 2.42801305 -7.52326449 -4.65566667 -5.28888531 -5.43657677  4.22054525
5.19677348 -3.65389826  4.31045304  4.97952779  0.10872304 -4.2185185
4.3617407  -4.77234867  3.28537387  1.66750902  5.21912779 -4.45084134
4.0620259   0.16018709]
sum(x)   :4.85722573273506e-15
sum(|x|) :79.99999999776362
max(x)   :5.219127785064835