让
import numpy as np
M = np.array([[ 1., -0.5301332 , 0.80512845],
[ 0., 0., 0.],
[ 0., 0., 0.]])
M
是秩一,它唯一的非零特征值是1(它的迹(。然而,CCD_ 2返回1.39,该1.39严格大于1。为什么?
np.linalg.eigvals
返回的M的特征值是1,0,0,但M的奇异值是1.39,0,零,这让我很惊讶。我错过了什么?
在这种特殊情况下,M
的2-范数与公式(np.sum(np.abs(M**2)))**(1/2)
给出的Frobenius范数一致,因此我们可以看到:
import numpy as np
M = np.array([[ 1., -0.5301332 , 0.80512845],
[ 0., 0., 0.],
[ 0., 0., 0.]])
np.sqrt(np.sum(np.abs(M**2)))
1.388982732341062
np.sqrt(np.sum(np.abs(M**2))) == np.linalg.norm(M,ord=2) == np.linalg.norm(M, ord='fro')
True
特别地,可以证明2-范数是M.T@M
的最大特征值即的平方根
np.sqrt(np.linalg.eigvals(M.T@M)[0])
1.388982732341062
这就是它与矩阵的特征值的关系。现在回想一下,奇异值是M.T@M我们解开迷雾。
利用Frobenius范数(M.T@M):
np.sqrt(np.sum(np.diag(M.T@M)))
1.388982732341062
直面结果:
np.sqrt(np.linalg.eigvals(M.T@M)[0]) == np.sqrt(np.sum(np.diag(M.T@M))) == np.linalg.svd(M)[1][0]
True
矩阵的第二范数所有元素之和的平方根
norm(M, ord=2) = (1.**2 + 0.5301332**2 + 0.80512845**2)**0.5 = 1.39
为了得到特征值和奇异值之间的关系,你需要计算M^H.M的特征值和的平方根
eigV = np.linalg.eigvals(M.T.dot(M))
array([1.92927303, 0. , 0. ])
eigV**0.5
array([1.38898273, 0. , 0. ])
这是完全正常的。在一般情况下,奇异值不等于本征值。这只适用于正埃尔米特矩阵。
对于平方矩阵,您有以下关系:
M = np.matrix([[ 1., -0.5301332 , 0.80512845],
[ 0., 0., 0.],
[ 0., 0., 0.]])
u, v= np.linalg.eig(M.H @ M) # M.H @ M is Hermitian
print(np.sqrt(u)) # [1.38898273 0. 0. ]
u,s,v = lin.svd(M)
print(s) # [1.38898273 0. 0. ]