用递归算法计算运行时间

Question

练习递归和D&C，一个常见的问题似乎是转换数组:
[a1,a2,a3..an,b1,b2,b3...bn]到[a1,b1,a2,b2,a3,b3...an,bn]
我解决它如下(startA是a s的开始，startB是b s的开始:

private static void shuffle(int[] a, int startA, int startB){  
        if(startA == startB)return;  
        int tmp = a[startB];  
        shift(a, startA + 1, startB);  
        a[startA + 1] = tmp;  
        shuffle(a, startA + 2, startB + 1);  
    }  
    private static void shift(int[] a, int start, int end) {  
        if(start >= end)return;  
        for(int i = end; i > start; i--){  
            a[i] = a[i - 1];   
        }       
    }  

但是我不确定运行时间是什么。它不是线性的吗?

Answer 1

设算法消耗的时间为T(n)，设n=startB-startA。

每次递归调用减少1个运行时间(startB-startA每次调用减少1个)，所以运行时间是T(n) = T(n-1) + f(n)，我们只需要找出f(n)是什么。

每次调用的瓶颈是shift()操作，它从startA+1迭代到startB，这意味着n-1迭代。

因此，算法的复杂度为T(n) = T(n-1) + (n-1)。

然而，这是一个已知的Theta(n^2)函数(等差数列的和)-并且该算法的时间复杂度为Theta(N^2) ，因为初始startB-startA与N(输入的大小)是线性的。