验证卷积定理

Question

我的主要目标是证明卷积定理是有效的(只是一个提醒:卷积定理意味着idft(dft(im) .* dft(mask)) = conv(im, mask))。我正试着编程呢

下面是我的代码:

function displayTransform( im )
% This routine displays the Fourier spectrum of an image.
% 
% Input:      im - a grayscale image (values in [0,255]) 
% 
% Method:  Computes the Fourier transform of im and displays its spectrum,
%                    (if F(u,v) = a+ib, displays sqrt(a^2+b^2)).
%                    Uses display techniques for visualization: log, and stretch values to full range,
%                    cyclic shift DC to center (use fftshift).
%                    Use showImage to display and fft2 to apply transform.  
%displays the image in grayscale in the Frequency domain
imfft = fft2(im);
imagesc(log(abs(fftshift(imfft))+1)), colormap(gray);
% building mask and padding it with Zeros in order to create same size mask
b = 1/16*[1 1 1 1;1 1 1 1; 1 1 1 1; 1 1 1 1];
paddedB = padarray(b, [floor(size(im,1)/2)-2 floor(size(im,2)/2)-2]);
paddedB = fft2(paddedB);
C = imfft.*paddedB;
resIFFT = ifft2(C);
%reguler convolution
resConv = conv2(im,b);
showImage(resConv);
end

我想比较resIFFT和resConv。我认为我错过了一些铸造，因为我得到的数字在矩阵更接近另一个，如果我使用铸造双重。也许我在铸型或填充的地方有一些错误?

Answer 1

1. 为了使用DFT计算线性卷积，你需要在两个信号后置零，否则结果将是圆卷积。您不必手动填充信号，如果您在函数调用中添加额外的参数，fft2可以为您完成此操作，如下所示:

   fft2(X, M, N)
   

   在进行变换之前填充(或截断)信号X以创建m × n信号。
   将每个维度中的每个信号填充到等于两个信号长度之和的长度，即:

   M = size(im, 1) + size(mask, 1);
   N = size(im, 2) + size(mask, 2);
   

2. 只是为了更好的实践，而不是:

   b = 1 / 16 * [1 1 1 1; 1 1 1 1; 1 1 1 1; 1 1 1 1];
   

   你可以写:

   b = ones(4) / 16;
   

无论如何，这里是固定的代码(我已经生成了一个随机的图像，只是为了这个例子):

im = fix(255 * rand(500));            % # Generate a random image
mask = ones(4) / 16;                  % # Mask
% # Circular convolution
resConv = conv2(im, mask);
% # Discrete Fourier transform
M = size(im, 1) + size(mask, 1);
N = size(im, 2) + size(mask, 2);
resIFFT = ifft2(fft2(im, M, N) .* fft2(mask, M, N));
resIFFT = resIFFT(1:end-1, 1:end-1);  % # Adjust dimensions
% # Check the difference
max(abs(resConv(:) - resIFFT(:)))

你应该得到的结果应该是零:

ans =
    8.5265e-014

足够近。